Номер 55, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

55. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = e^{4x} + e^{-2x^2}$, $x_0 = 0$;

2) $f(x) = 5^{2x^2-3x+1}$, $x_0 = 1$;

3) $f(x) = e^{2x} (x^2 - 3)$, $x_0 = 2$;

4) $f(x) = \frac{e^{2x}}{\cos 3x}$, $x_0 = \pi$.

1) Дана функция $f(x) = e^{4x} + e^{-2x^2}$ и точка $x_0 = 0$.
Чтобы найти значение производной в точке, сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и цепное правило для сложных функций $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
Производная первого слагаемого: $(e^{4x})' = e^{4x} \cdot (4x)' = 4e^{4x}$.
Производная второго слагаемого: $(e^{-2x^2})' = e^{-2x^2} \cdot (-2x^2)' = e^{-2x^2} \cdot (-4x) = -4xe^{-2x^2}$.
Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = 4e^{4x} - 4xe^{-2x^2}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = 4e^{4 \cdot 0} - 4 \cdot 0 \cdot e^{-2 \cdot 0^2} = 4e^0 - 0 \cdot e^0 = 4 \cdot 1 - 0 = 4$.
Ответ: $4$.

2) Дана функция $f(x) = 5^{2x^2-3x+1}$ и точка $x_0 = 1$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln a \cdot u'$, где $a=5$ и $u = 2x^2-3x+1$.
$u' = (2x^2-3x+1)' = 4x-3$.
Следовательно, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = 5^{2x^2-3x+1} \cdot \ln 5 \cdot (4x-3)$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = 5^{2(1)^2-3(1)+1} \cdot \ln 5 \cdot (4(1)-3) = 5^{2-3+1} \cdot \ln 5 \cdot (4-3) = 5^0 \cdot \ln 5 \cdot 1 = 1 \cdot \ln 5 = \ln 5$.
Ответ: $\ln 5$.

3) Дана функция $f(x) = e^{2x}(x^2 - 3)$ и точка $x_0 = 2$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = e^{2x}$ и $v(x) = x^2-3$.
$u'(x) = (e^{2x})' = 2e^{2x}$.
$v'(x) = (x^2-3)' = 2x$.
Тогда производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (e^{2x})'(x^2-3) + e^{2x}(x^2-3)' = 2e^{2x}(x^2-3) + e^{2x}(2x)$.
Упростим выражение, вынеся $e^{2x}$ за скобки:
$f'(x) = e^{2x}(2(x^2-3) + 2x) = e^{2x}(2x^2 - 6 + 2x) = e^{2x}(2x^2 + 2x - 6)$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = e^{2 \cdot 2}(2(2)^2 + 2(2) - 6) = e^4(2 \cdot 4 + 4 - 6) = e^4(8 + 4 - 6) = e^4 \cdot 6 = 6e^4$.
Ответ: $6e^4$.

4) Дана функция $f(x) = \frac{e^{2x}}{\cos(3x)}$ и точка $x_0 = \pi$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = e^{2x}$ и $v(x) = \cos(3x)$.
$u'(x) = (e^{2x})' = 2e^{2x}$.
$v'(x) = (\cos(3x))' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.
Тогда производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = \frac{(e^{2x})'\cos(3x) - e^{2x}(\cos(3x))'}{(\cos(3x))^2} = \frac{2e^{2x}\cos(3x) - e^{2x}(-3\sin(3x))}{\cos^2(3x)} = \frac{2e^{2x}\cos(3x) + 3e^{2x}\sin(3x)}{\cos^2(3x)}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$. Для этого найдем значения $\cos(3\pi)$ и $\sin(3\pi)$:
$\cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1$.
$\sin(3\pi) = \sin(\pi) = 0$.
Подставим значения в выражение для производной:
$f'(\pi) = \frac{2e^{2\pi}(-1) + 3e^{2\pi}(0)}{(-1)^2} = \frac{-2e^{2\pi} + 0}{1} = -2e^{2\pi}$.
Ответ: $-2e^{2\pi}$.