Номер 58, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = \ln(5x - 4), x_0 = 3;$

2) $f(x) = \frac{1}{4}\ln(-2x), x_0 = -\frac{1}{8};$

3) $f(x) = \ln \sin\frac{x}{3}, x_0 = \pi.$

1) $f(x) = \ln(5x - 4), x_0 = 3$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом). Производная натурального логарифма $(\ln u)' = \frac{1}{u} \cdot u'$.
В нашем случае, $u = 5x - 4$, тогда $u' = (5x - 4)' = 5$.
Таким образом, производная функции $f(x)$ равна:
$f'(x) = (\ln(5x - 4))' = \frac{1}{5x - 4} \cdot (5x - 4)' = \frac{1}{5x - 4} \cdot 5 = \frac{5}{5x - 4}$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:
$f'(3) = \frac{5}{5 \cdot 3 - 4} = \frac{5}{15 - 4} = \frac{5}{11}$.

Ответ: $\frac{5}{11}$

2) $f(x) = \frac{1}{4}\ln(-2x), x_0 = -\frac{1}{8}$

Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции и правило вынесения константы за знак производной.
$f'(x) = \left(\frac{1}{4}\ln(-2x)\right)' = \frac{1}{4} \cdot (\ln(-2x))'$.
Здесь внутренняя функция $u = -2x$, ее производная $u' = -2$.
$f'(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{-2x} \cdot (-2x)' = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{-2x} \cdot (-2) = \frac{-2}{4(-2x)} = \frac{1}{4x}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{1}{8}$:
$f'(-\frac{1}{8}) = \frac{1}{4 \cdot (-\frac{1}{8})} = \frac{1}{-\frac{4}{8}} = \frac{1}{-\frac{1}{2}} = -2$.

Ответ: $-2$

3) $f(x) = \ln\sin\frac{x}{3}, x_0 = \pi$

Это сложная функция, для нахождения ее производной применим цепное правило дважды.
$f'(x) = \left(\ln\left(\sin\frac{x}{3}\right)\right)' = \frac{1}{\sin\frac{x}{3}} \cdot \left(\sin\frac{x}{3}\right)'$.
Теперь найдем производную от $\sin\frac{x}{3}$:
$\left(\sin\frac{x}{3}\right)' = \cos\frac{x}{3} \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \cos\frac{x}{3} \cdot \frac{1}{3}$.
Подставим это в выражение для производной $f'(x)$:
$f'(x) = \frac{1}{\sin\frac{x}{3}} \cdot \cos\frac{x}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3} \frac{\cos(x/3)}{\sin(x/3)} = \frac{1}{3}\cot\frac{x}{3}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = \pi$:
$f'(\pi) = \frac{1}{3}\cot\frac{\pi}{3}$.
Так как $\cot\frac{\pi}{3} = \frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то:
$f'(\pi) = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{9}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{9}$