Номер 57, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Найдите производную функции:

1) $y = \log_{12} x;$

2) $y = \ln 10x;$

3) $y = \ln(2x^2 + 5);$

4) $y = \log_{0.4}(4x^2 - 2x + 9);$

5) $y = \ln^6 x;$

6) $y = x^7 \ln x;$

7) $y = \frac{\ln x}{x^4};$

8) $y = \frac{x}{\ln^3 x}.$

1) Дана функция $y = \log_{12} x$.
Для нахождения производной логарифмической функции с основанием $a$ используется формула: $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.
В данном случае основание $a = 12$.
Применяя формулу, получаем: $y' = (\log_{12} x)' = \frac{1}{x \ln 12}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x \ln 12}$.

2) Дана функция $y = \ln 10x$.
Воспользуемся свойством логарифма: $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.
Тогда функцию можно переписать в виде: $y = \ln 10 + \ln x$.
Теперь найдем производную. Производная константы $(\ln 10)'$ равна нулю, а производная $(\ln x)' = \frac{1}{x}$.
$y' = (\ln 10 + \ln x)' = (\ln 10)' + (\ln x)' = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{x}$.

3) Дана функция $y = \ln(2x^2 + 5)$.
Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) для натурального логарифма: $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$.
Здесь $u = 2x^2 + 5$.
Найдем производную внутренней функции: $u' = (2x^2 + 5)' = 2 \cdot 2x + 0 = 4x$.
Подставляем в формулу: $y' = \frac{4x}{2x^2 + 5}$.
Ответ: $y' = \frac{4x}{2x^2 + 5}$.

4) Дана функция $y = \log_{0,4}(4x^2 - 2x + 9)$.
Это сложная функция. Используем правило дифференцирования сложной функции для логарифма с основанием $a$: $(\log_a u)' = \frac{u'}{u \ln a}$.
Здесь $a = 0,4$ и $u = 4x^2 - 2x + 9$.
Найдем производную внутренней функции: $u' = (4x^2 - 2x + 9)' = 8x - 2$.
Подставляем в формулу: $y' = \frac{8x - 2}{(4x^2 - 2x + 9) \ln 0,4}$.
Ответ: $y' = \frac{8x - 2}{(4x^2 - 2x + 9) \ln 0,4}$.

5) Дана функция $y = \ln^6 x$.
Эту функцию можно записать как $y = (\ln x)^6$.
Это сложная функция. Используем степенное правило и цепное правило: $(u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'$.
Здесь $u = \ln x$ и $n = 6$.
Производная внутренней функции: $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставляем в формулу: $y' = 6(\ln x)^{6-1} \cdot (\ln x)' = 6 \ln^5 x \cdot \frac{1}{x} = \frac{6 \ln^5 x}{x}$.
Ответ: $y' = \frac{6 \ln^5 x}{x}$.

6) Дана функция $y = x^7 \ln x$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Здесь $u = x^7$ и $v = \ln x$.
Находим производные: $u' = (x^7)' = 7x^6$ и $v' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$.
Подставляем в формулу: $y' = 7x^6 \cdot \ln x + x^7 \cdot \frac{1}{x} = 7x^6 \ln x + x^6$.
Можно вынести общий множитель $x^6$: $y' = x^6(7 \ln x + 1)$.
Ответ: $y' = x^6(7 \ln x + 1)$.

7) Дана функция $y = \frac{\ln x}{x^4}$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = \ln x$ и $v = x^4$.
Находим производные: $u' = (\ln x)' = \frac{1}{x}$ и $v' = (x^4)' = 4x^3$.
Подставляем в формулу: $y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^4 - \ln x \cdot 4x^3}{(x^4)^2} = \frac{x^3 - 4x^3 \ln x}{x^8}$.
Вынесем $x^3$ в числителе за скобки и сократим дробь: $y' = \frac{x^3(1 - 4 \ln x)}{x^8} = \frac{1 - 4 \ln x}{x^5}$.
Ответ: $y' = \frac{1 - 4 \ln x}{x^5}$.

8) Дана функция $y = \frac{x}{\ln^3 x}$.
Для нахождения производной используем правило дифференцирования частного: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Здесь $u = x$ и $v = \ln^3 x = (\ln x)^3$.
Находим производные: $u' = (x)' = 1$.
Для нахождения $v'$ используем цепное правило: $v' = ((\ln x)^3)' = 3(\ln x)^2 \cdot (\ln x)' = 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} = \frac{3 \ln^2 x}{x}$.
Подставляем в формулу: $y' = \frac{1 \cdot \ln^3 x - x \cdot \frac{3 \ln^2 x}{x}}{(\ln^3 x)^2} = \frac{\ln^3 x - 3 \ln^2 x}{\ln^6 x}$.
Вынесем $\ln^2 x$ в числителе за скобки и сократим дробь: $y' = \frac{\ln^2 x(\ln x - 3)}{\ln^6 x} = \frac{\ln x - 3}{\ln^4 x}$.
Ответ: $y' = \frac{\ln x - 3}{\ln^4 x}$.