Номер 52, страница 44 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

52. Решите неравенство:

1) $\log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < 1;$

2) $\log_{x-1}(x + 1) \ge 2.$

Решим неравенство $ \log_{2x}(x^2 - 5x + 6) < 1 $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $ x^2 - 5x + 6 > 0 $. Корни уравнения $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ равны $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty) $.
2. Основание логарифма должно быть строго больше нуля и не равно единице: $ \begin{cases} 2x > 0 \\ 2x \ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 0 \\ x \ne 1/2 \end{cases} $.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $ x \in (0, 1/2) \cup (1/2, 2) \cup (3, \infty) $.

Решение неравенства зависит от значения основания $ 2x $. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Основание больше 1, то есть $ 2x > 1 \Rightarrow x > 1/2 $.
В этом случае функция логарифма возрастающая, и знак неравенства сохраняется:
$ x^2 - 5x + 6 < (2x)^1 $
$ x^2 - 5x + 6 < 2x $
$ x^2 - 7x + 6 < 0 $
Корни уравнения $ x^2 - 7x + 6 = 0 $ равны $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 6 $. Неравенство выполняется между корнями: $ x \in (1, 6) $.

Теперь найдем пересечение полученного решения $ x \in (1, 6) $ с условием этого случая $ x > 1/2 $ и с ОДЗ.
$ (1, 6) \cap (1/2, \infty) \cap ((0, 1/2) \cup (1/2, 2) \cup (3, \infty)) = (1, 2) \cup (3, 6) $.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1, то есть $ 0 < 2x < 1 \Rightarrow 0 < x < 1/2 $.
В этом случае функция логарифма убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:
$ x^2 - 5x + 6 > (2x)^1 $
$ x^2 - 7x + 6 > 0 $
Неравенство выполняется вне корней $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = 6 $: $ x \in (-\infty, 1) \cup (6, \infty) $.

Найдем пересечение этого решения с условием случая $ 0 < x < 1/2 $.
$ ((-\infty, 1) \cup (6, \infty)) \cap (0, 1/2) = (0, 1/2) $.
Этот интервал полностью входит в ОДЗ.

Общее решение неравенства является объединением решений, полученных в обоих случаях.
$ ((1, 2) \cup (3, 6)) \cup (0, 1/2) $.

Ответ: $ x \in (0, 1/2) \cup (1, 2) \cup (3, 6) $.

Решим неравенство $ \log_{x-1}(x + 1) \ge 2 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
1. Аргумент логарифма: $ x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1 $.
2. Основание логарифма: $ \begin{cases} x-1 > 0 \\ x-1 \ne 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1 \\ x \ne 2 \end{cases} $.

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $ x \in (1, 2) \cup (2, \infty) $.

Рассмотрим два случая для основания $ x-1 $.

Случай 1: Основание больше 1, то есть $ x-1 > 1 \Rightarrow x > 2 $.
Знак неравенства сохраняется:
$ x + 1 \ge (x-1)^2 $
$ x + 1 \ge x^2 - 2x + 1 $
$ 0 \ge x^2 - 3x $
$ x^2 - 3x \le 0 $
$ x(x-3) \le 0 $
Решением этого неравенства является отрезок $ [0, 3] $.

Найдем пересечение решения $ [0, 3] $ с условием этого случая $ x > 2 $.
$ [0, 3] \cap (2, \infty) = (2, 3] $.
Этот интервал полностью удовлетворяет ОДЗ.

Случай 2: Основание находится в интервале от 0 до 1, то есть $ 0 < x-1 < 1 \Rightarrow 1 < x < 2 $.
Знак неравенства меняется на противоположный:
$ x + 1 \le (x-1)^2 $
$ x + 1 \le x^2 - 2x + 1 $
$ 0 \le x^2 - 3x $
$ x(x-3) \ge 0 $
Решением является объединение интервалов $ (-\infty, 0] \cup [3, \infty) $.

Найдем пересечение этого решения с условием случая $ 1 < x < 2 $.
$ ((-\infty, 0] \cup [3, \infty)) \cap (1, 2) = \emptyset $.
В этом случае решений нет.

Общее решение неравенства - это решение, полученное в первом случае.

Ответ: $ x \in (2, 3] $.