Номер 54, страница 45 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

54. Найдите производную функции:

1) $y = e^{8x}$;

2) $y = e^{x^4}$;

3) $y = e^{x^2 - 3x}$;

4) $y = 8^{-x}$;

5) $y = 9^{3x+7}$;

6) $y = 0.2^{\operatorname{ctg} x}$;

7) $y = 5 \cdot 4^{0.6x^2 - 8}$;

8) $y = e^x (x^2 - 5x + 6)$;

9) $y = 3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$;

10) $y = 6x^2 (2 - x)$;

11) $y = \frac{7x + 2}{7x - 3}$;

12) $y = e^{\frac{\operatorname{tg} x}{3}}$.

1) Для функции $y = e^{8x}$ используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
В данном случае, $u(x) = 8x$, и ее производная $u'(x) = 8$.
Тогда производная исходной функции будет:
$y' = (e^{8x})' = e^{8x} \cdot (8x)' = e^{8x} \cdot 8 = 8e^{8x}$.
Ответ: $y' = 8e^{8x}$.

2) Для функции $y = e^{x^4}$ используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Здесь $u(x) = x^4$, и ее производная $u'(x) = 4x^3$.
Следовательно, производная функции:
$y' = (e^{x^4})' = e^{x^4} \cdot (x^4)' = e^{x^4} \cdot 4x^3 = 4x^3e^{x^4}$.
Ответ: $y' = 4x^3e^{x^4}$.

3) Для функции $y = e^{x^2-3x}$ используем правило дифференцирования сложной функции $(e^{u(x)})' = e^{u(x)} \cdot u'(x)$.
Здесь $u(x) = x^2-3x$, и ее производная $u'(x) = 2x-3$.
Тогда производная функции:
$y' = (e^{x^2-3x})' = e^{x^2-3x} \cdot (x^2-3x)' = e^{x^2-3x} \cdot (2x-3) = (2x-3)e^{x^2-3x}$.
Ответ: $y' = (2x-3)e^{x^2-3x}$.

4) Для функции $y = 8^{-x}$ используем правило дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
В этом случае, $a = 8$, $u(x) = -x$, и $u'(x) = -1$.
Производная будет:
$y' = (8^{-x})' = 8^{-x} \ln(8) \cdot (-x)' = 8^{-x} \ln(8) \cdot (-1) = -8^{-x}\ln(8)$.
Ответ: $y' = -8^{-x}\ln(8)$.

5) Для функции $y = 9^{3x+7}$ используем правило дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
Здесь $a = 9$, $u(x) = 3x+7$, и $u'(x) = 3$.
Находим производную:
$y' = (9^{3x+7})' = 9^{3x+7} \ln(9) \cdot (3x+7)' = 9^{3x+7} \ln(9) \cdot 3 = 3 \cdot 9^{3x+7}\ln(9)$.
Ответ: $y' = 3 \cdot 9^{3x+7}\ln(9)$.

6) Для функции $y = 0.2^{\ctg x}$ используем правило дифференцирования показательной функции $(a^{u(x)})' = a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
Здесь $a = 0.2$, $u(x) = \ctg x$, и $u'(x) = (\ctg x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Находим производную:
$y' = (0.2^{\ctg x})' = 0.2^{\ctg x} \ln(0.2) \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = -\frac{0.2^{\ctg x} \ln(0.2)}{\sin^2 x}$.
Учитывая, что $\ln(0.2) = \ln(1/5) = -\ln(5)$, можно переписать ответ: $y' = \frac{0.2^{\ctg x} \ln(5)}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = -\frac{0.2^{\ctg x} \ln(0.2)}{\sin^2 x}$.

7) Для функции $y = 5 \cdot 4^{0.6x^2-8}$ используем правило дифференцирования произведения константы на функцию и правило для показательной функции $(c \cdot a^{u(x)})' = c \cdot a^{u(x)} \ln(a) \cdot u'(x)$.
Здесь $c=5$, $a=4$, $u(x) = 0.6x^2-8$, и $u'(x) = 0.6 \cdot 2x = 1.2x$.
Находим производную:
$y' = 5 \cdot (4^{0.6x^2-8})' = 5 \cdot 4^{0.6x^2-8} \ln(4) \cdot (1.2x) = (5 \cdot 1.2x) \cdot 4^{0.6x^2-8} \ln(4) = 6x \cdot 4^{0.6x^2-8} \ln(4)$.
Ответ: $y' = 6x \cdot 4^{0.6x^2-8} \ln(4)$.

8) Для функции $y = e^x(x^2 - 5x + 6)$ используем правило дифференцирования произведения двух функций $(u \cdot v)' = u'v + uv'$.
Пусть $u(x) = e^x$ и $v(x) = x^2 - 5x + 6$.
Тогда $u'(x) = e^x$ и $v'(x) = 2x - 5$.
Подставляем в формулу:
$y' = (e^x)'(x^2 - 5x + 6) + e^x(x^2 - 5x + 6)' = e^x(x^2 - 5x + 6) + e^x(2x - 5)$.
Выносим $e^x$ за скобки и упрощаем:
$y' = e^x(x^2 - 5x + 6 + 2x - 5) = e^x(x^2 - 3x + 1)$.
Ответ: $y' = e^x(x^2 - 3x + 1)$.

9) Сначала упростим функцию $y = 3\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}$.
Так как $\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} = x$ (для $x \ge 0$), функция принимает вид $y = 3x$.
Теперь находим производную от линейной функции:
$y' = (3x)' = 3$.
Ответ: $y' = 3$.

10) Для функции $y = 6x^2(2-x)$ сначала раскроем скобки, чтобы упростить выражение.
$y = 6x^2 \cdot 2 - 6x^2 \cdot x = 12x^2 - 6x^3$.
Теперь дифференцируем полученный многочлен, используя правило для степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:
$y' = (12x^2)' - (6x^3)' = 12 \cdot 2x^{2-1} - 6 \cdot 3x^{3-1} = 24x - 18x^2$.
Ответ: $y' = 24x - 18x^2$.

11) Для функции $y = \frac{7x+2}{7x-3}$ используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 7x+2$ и $v(x) = 7x-3$.
Тогда их производные $u'(x) = 7$ и $v'(x) = 7$.
Подставляем в формулу:
$y' = \frac{(7x+2)'(7x-3) - (7x+2)(7x-3)'}{(7x-3)^2} = \frac{7(7x-3) - (7x+2)7}{(7x-3)^2}$.
Раскрываем скобки в числителе:
$y' = \frac{49x - 21 - (49x + 14)}{(7x-3)^2} = \frac{49x - 21 - 49x - 14}{(7x-3)^2} = \frac{-35}{(7x-3)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{35}{(7x-3)^2}$.

12) Для функции $y = e^{\tg(x/3)}$ применяем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) последовательно.
Сначала для внешней функции $e^u$: $(e^u)' = e^u \cdot u'$. Здесь $u = \tg(x/3)$.
$y' = e^{\tg(x/3)} \cdot (\tg(x/3))'$.
Теперь найдем производную от $\tg(x/3)$. Это тоже сложная функция. $(\tg v)' = \frac{1}{\cos^2 v} \cdot v'$. Здесь $v = \frac{x}{3}$.
$(\tg(x/3))' = \frac{1}{\cos^2(x/3)} \cdot (\frac{x}{3})' = \frac{1}{\cos^2(x/3)} \cdot \frac{1}{3}$.
Объединяем все вместе:
$y' = e^{\tg(x/3)} \cdot \frac{1}{3\cos^2(x/3)} = \frac{e^{\tg(x/3)}}{3\cos^2(x/3)}$.
Ответ: $y' = \frac{e^{\tg(x/3)}}{3\cos^2(x/3)}$.