Номер 61, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = x^2e^{2x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$;

2) $f(x) = e^{x^2-3x-4}$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$;

3) $f(x) = 3^{2x+3}$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$;

4) $f(x) = \ln(3-2x)$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$;

5) $f(x) = \ln(x^2-4x+5)$ в точке его пересечения с осью абсцисс.

Общая формула для уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в этой же точке.

1) $f(x) = x^2e^{2x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 1^2 \cdot e^{2 \cdot 1} = e^2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:

$f'(x) = (x^2)'e^{2x} + x^2(e^{2x})' = 2xe^{2x} + x^2(2e^{2x}) = 2xe^{2x}(1+x)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 2 \cdot 1 \cdot e^{2 \cdot 1}(1+1) = 2e^2 \cdot 2 = 4e^2$.

4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(1)=e^2$ и $f'(1)=4e^2$ в уравнение касательной:

$y = e^2 + 4e^2(x - 1)$.

5. Упростим уравнение:

$y = e^2 + 4e^2x - 4e^2$

$y = 4e^2x - 3e^2$.

Ответ: $y = 4e^2x - 3e^2$.

2) $f(x) = e^{x^2-3x-4}$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = e^{(-1)^2-3(-1)-4} = e^{1+3-4} = e^0 = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(e^u)' = e^u \cdot u'$:

$f'(x) = e^{x^2-3x-4} \cdot (x^2-3x-4)' = e^{x^2-3x-4} \cdot (2x-3)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = e^{(-1)^2-3(-1)-4} \cdot (2(-1)-3) = e^0 \cdot (-2-3) = 1 \cdot (-5) = -5$.

4. Подставим найденные значения $x_0=-1$, $f(-1)=1$ и $f'(-1)=-5$ в уравнение касательной:

$y = 1 + (-5)(x - (-1))$.

5. Упростим уравнение:

$y = 1 - 5(x+1) = 1 - 5x - 5 = -5x - 4$.

Ответ: $y = -5x - 4$.

3) $f(x) = 3^{2x+3}$ в точке с абсциссой $x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = 3^{2(-1)+3} = 3^{-2+3} = 3^1 = 3$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования показательной функции $(a^u)' = a^u \ln(a) \cdot u'$:

$f'(x) = 3^{2x+3} \cdot \ln(3) \cdot (2x+3)' = 3^{2x+3} \cdot \ln(3) \cdot 2 = 2 \ln(3) \cdot 3^{2x+3}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = 2 \ln(3) \cdot 3^{2(-1)+3} = 2 \ln(3) \cdot 3^1 = 6 \ln(3)$.

4. Подставим найденные значения $x_0=-1$, $f(-1)=3$ и $f'(-1)=6\ln(3)$ в уравнение касательной:

$y = 3 + 6 \ln(3) (x - (-1))$.

5. Упростим уравнение:

$y = 3 + 6 \ln(3) (x+1) = 3 + (6 \ln 3)x + 6 \ln 3$.

Ответ: $y = (6 \ln 3)x + 3 + 6 \ln 3$.

4) $f(x) = \ln(3-2x)$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = \ln(3-2 \cdot 1) = \ln(1) = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$:

$f'(x) = \frac{1}{3-2x} \cdot (3-2x)' = \frac{-2}{3-2x}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{-2}{3-2 \cdot 1} = \frac{-2}{1} = -2$.

4. Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(1)=0$ и $f'(1)=-2$ в уравнение касательной:

$y = 0 + (-2)(x - 1)$.

5. Упростим уравнение:

$y = -2x + 2$.

Ответ: $y = -2x + 2$.

5) $f(x) = \ln(x^2-4x+5)$ в точке его пересечения с осью абсцисс

1. Сначала найдем точку пересечения графика с осью абсцисс. Для этого приравняем функцию к нулю:

$f(x) = 0 \Rightarrow \ln(x^2-4x+5) = 0$.

По определению логарифма, это означает, что его аргумент равен 1:

$x^2-4x+5 = 1$

$x^2-4x+4 = 0$

$(x-2)^2 = 0$

Отсюда $x_0 = 2$. Таким образом, точка касания имеет абсциссу $x_0=2$ и ординату $f(2)=0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{1}{x^2-4x+5} \cdot (x^2-4x+5)' = \frac{2x-4}{x^2-4x+5}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 2$:

$f'(2) = \frac{2 \cdot 2 - 4}{2^2 - 4 \cdot 2 + 5} = \frac{4-4}{4-8+5} = \frac{0}{1} = 0$.

4. Подставим найденные значения $x_0=2$, $f(2)=0$ и $f'(2)=0$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 0 \cdot (x-2)$.

5. Упростим уравнение:

$y = 0$.

Ответ: $y = 0$.