Номер 66, страница 46 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Найдите наибольшее значение функции:

1) $f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x^2-6x+8}$;

2) $f(x) = \log_3(56 + 10x - x^2) - 10.$

1) Дана функция $f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x^2-6x+8}$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{4}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что наибольшее значение функции $f(x)$ достигается при наименьшем значении ее показателя, то есть выражения $g(x) = x^2-6x+8$.
Функция $g(x) = x^2-6x+8$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, поскольку коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, наименьшее значение эта функция принимает в своей вершине.
Найдем абсциссу вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$.
Теперь найдем наименьшее значение показателя, подставив $x_0 = 3$ в $g(x)$:
$g_{min} = g(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 8 = 9 - 18 + 8 = -1$.
Наибольшее значение исходной функции $f(x)$ равно:
$f_{max} = \left(\frac{1}{4}\right)^{g_{min}} = \left(\frac{1}{4}\right)^{-1} = 4$.
Ответ: 4.

2) Дана функция $f(x) = \log_3(56 + 10x - x^2) - 10$. Это логарифмическая функция с основанием $a=3$. Так как основание $a > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что наибольшее значение функции $f(x)$ достигается при наибольшем значении ее аргумента (подлогарифмического выражения) $g(x) = 56 + 10x - x^2$.
Функция $g(x) = -x^2 + 10x + 56$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вниз, поскольку коэффициент при $x^2$ отрицателен. Следовательно, наибольшее значение эта функция принимает в своей вершине.
Найдем абсциссу вершины параболы:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{10}{2 \cdot (-1)} = 5$.
Теперь найдем наибольшее значение аргумента, подставив $x_0 = 5$ в $g(x)$:
$g_{max} = g(5) = -(5)^2 + 10 \cdot 5 + 56 = -25 + 50 + 56 = 81$.
Наибольшее значение исходной функции $f(x)$ равно:
$f_{max} = \log_3(g_{max}) - 10 = \log_3(81) - 10$.
Поскольку $81 = 3^4$, то $\log_3(81) = 4$.
$f_{max} = 4 - 10 = -6$.
Ответ: -6.