Номер 71, страница 47 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Докажите, что функция F является первообразной функции f на промежутке I:

1) $F(x) = x^2 - 4x^3 - 6$, $f(x) = 2x - 12x^2$, $I = (-\infty; +\infty);$

2) $F(x) = 5x + \frac{7}{x}$, $f(x) = 5 - \frac{7}{x^2}$, $I = (0; +\infty);$

3) $F(x) = \sqrt{4x + 9}$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x + 9}}$, $I = (-2,25; +\infty);$

4) $F(x) = \sin 3x$, $f(x) = 3 \cos 3x$, $I = (-\infty; +\infty);$

5) $F(x) = 9 - \operatorname{ctg} \frac{x}{3}$, $f(x) = \frac{1}{3 \sin^2 \frac{x}{3}}$, $I = \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right);$

6) $F(x) = \ln x^6 - x^3$, $f(x) = \frac{6 - 3x^3}{x}$, $I = (0; +\infty).$

1) По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $I$, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.
Найдем производную функции $F(x) = x^2 - 4x^3 - 6$:
$F'(x) = (x^2 - 4x^3 - 6)' = (x^2)' - (4x^3)' - (6)' = 2x - 4 \cdot 3x^2 - 0 = 2x - 12x^2$.
Сравним полученную производную с функцией $f(x) = 2x - 12x^2$.
Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x$ из промежутка $I = (-\infty; +\infty)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Найдем производную функции $F(x) = 5x + \frac{7}{x}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$.
Для удобства дифференцирования представим $F(x)$ в виде $F(x) = 5x + 7x^{-1}$.
$F'(x) = (5x + 7x^{-1})' = (5x)' + (7x^{-1})' = 5 \cdot 1 + 7 \cdot (-1)x^{-2} = 5 - 7x^{-2} = 5 - \frac{7}{x^2}$.
Полученное выражение $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x) = 5 - \frac{7}{x^2}$.
Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (0; +\infty)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на данном промежутке.
Ответ: Что и требовалось доказать.

3) Найдем производную функции $F(x) = \sqrt{4x + 9}$ на промежутке $I = (-2,25; +\infty)$.
Используем правило производной сложной функции, представив $F(x)$ как $(4x+9)^{\frac{1}{2}}$.
$F'(x) = ((4x+9)^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}(4x+9)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (4x+9)' = \frac{1}{2}(4x+9)^{-\frac{1}{2}} \cdot 4 = 2(4x+9)^{-\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{4x+9}}$.
Результат совпадает с функцией $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x+9}}$.
Функция $F(x)$ дифференцируема при $4x+9 > 0$, то есть при $x > -2,25$, что соответствует заданному промежутку $I$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ на $I$, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

4) Найдем производную функции $F(x) = \sin(3x)$ на промежутке $I = (-\infty; +\infty)$, используя правило производной сложной функции.
$F'(x) = (\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot (3x)' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$.
Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x) = 3\cos(3x)$.
Так как $F'(x) = f(x)$ для всех $x \in (-\infty; +\infty)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

5) Найдем производную функции $F(x) = 9 - \text{ctg}\frac{x}{3}$ на промежутке $I = (\frac{\pi}{2}; \pi)$.
$F'(x) = (9 - \text{ctg}\frac{x}{3})' = (9)' - (\text{ctg}\frac{x}{3})' = 0 - (-\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})}) \cdot (\frac{x}{3})' = \frac{1}{\sin^2(\frac{x}{3})} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3\sin^2\frac{x}{3}}$.
Результат совпадает с функцией $f(x) = \frac{1}{3\sin^2\frac{x}{3}}$.
Функция $F(x)$ дифференцируема, если ее знаменатель $\sin(\frac{x}{3}) \neq 0$, то есть $\frac{x}{3} \neq k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$), или $x \neq 3k\pi$. Промежуток $I = (\frac{\pi}{2}; \pi)$ не содержит таких точек, поэтому $F(x)$ дифференцируема на нем.
Так как $F'(x) = f(x)$ на $I$, $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

6) Найдем производную функции $F(x) = \ln x^6 - x^3$ на промежутке $I = (0; +\infty)$.
На данном промежутке $x > 0$, поэтому по свойству логарифма $\ln a^b = b \ln a$ можно упростить функцию: $F(x) = 6\ln x - x^3$.
Теперь найдем производную:
$F'(x) = (6\ln x - x^3)' = 6 \cdot (\ln x)' - (x^3)' = 6 \cdot \frac{1}{x} - 3x^2 = \frac{6}{x} - 3x^2$.
Приведем выражение к общему знаменателю: $F'(x) = \frac{6}{x} - \frac{3x^3}{x} = \frac{6-3x^3}{x}$.
Полученное выражение совпадает с функцией $f(x) = \frac{6 - 3x^3}{x}$.
Поскольку $F'(x) = f(x)$ на промежутке $I = (0; +\infty)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.
Ответ: Что и требовалось доказать.