Номер 75, страница 48 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

75. Найдите общий вид первообразных функции:

1) $f(x) = x + 6;$

2) $f(x) = 4x^3 + 8x - 1;$

3) $f(x) = 12x^2 - 6x^5;$

4) $f(x) = x^4 - \frac{3}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty);$

5) $f(x) = \frac{5}{x^4} - \frac{4}{x^3}$ на промежутке $(0; +\infty);$

6) $f(x) = \frac{7}{\cos^2 x} + 2\sin x$ на промежутке $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right);$

7) $f(x) = 6\sqrt[3]{x} - 9x^8$ на промежутке $(-\infty; +\infty).$

1) Общий вид первообразных для функции $f(x)$ — это ее неопределенный интеграл $F(x) = \int f(x)dx$. Для функции $f(x) = x + 6$ находим:
$F(x) = \int (x + 6)dx = \int x^1 dx + \int 6 dx$.
Используя табличные интегралы для степенной функции ($\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$) и для константы ($\int k dx = kx$), получаем:
$F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} + 6x + C = \frac{x^2}{2} + 6x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.
Ответ: $F(x) = \frac{x^2}{2} + 6x + C$.

2) Для функции $f(x) = 4x^3 + 8x - 1$ находим общий вид первообразных:
$F(x) = \int (4x^3 + 8x - 1)dx = \int 4x^3 dx + \int 8x dx - \int 1 dx$.
Используя свойства интеграла и формулу для степенной функции, получаем:
$F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 8 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 1 \cdot x + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 8 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C$.
Упрощая выражение, получаем:
$F(x) = x^4 + 4x^2 - x + C$.
Ответ: $F(x) = x^4 + 4x^2 - x + C$.

3) Для функции $f(x) = 12x^2 - 6x^5$ находим общий вид первообразных:
$F(x) = \int (12x^2 - 6x^5)dx = \int 12x^2 dx - \int 6x^5 dx$.
$F(x) = 12 \int x^2 dx - 6 \int x^5 dx = 12 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + C$.
$F(x) = 12 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^6}{6} + C$.
Упрощая, получаем:
$F(x) = 4x^3 - x^6 + C$.
Ответ: $F(x) = 4x^3 - x^6 + C$.

4) Для функции $f(x) = x^4 - \frac{3}{\sqrt{x}}$ на промежутке $(0; +\infty)$ сначала преобразуем ее к степенному виду: $f(x) = x^4 - 3x^{-1/2}$.
Теперь находим первообразную:
$F(x) = \int (x^4 - 3x^{-1/2})dx = \int x^4 dx - 3\int x^{-1/2} dx$.
$F(x) = \frac{x^{4+1}}{4+1} - 3 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = \frac{x^5}{5} - 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C$.
Упрощая, получаем:
$F(x) = \frac{x^5}{5} - 6x^{1/2} + C = \frac{x^5}{5} - 6\sqrt{x} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{x^5}{5} - 6\sqrt{x} + C$.

5) Для функции $f(x) = \frac{5}{x^4} - \frac{4}{x^3}$ на промежутке $(0; +\infty)$ преобразуем ее к степенному виду: $f(x) = 5x^{-4} - 4x^{-3}$.
Находим первообразную:
$F(x) = \int (5x^{-4} - 4x^{-3})dx = 5\int x^{-4} dx - 4\int x^{-3} dx$.
$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} - 4 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = 5 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} - 4 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} + C$.
Упрощая, получаем:
$F(x) = -\frac{5}{3}x^{-3} + 2x^{-2} + C = -\frac{5}{3x^3} + \frac{2}{x^2} + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{2}{x^2} - \frac{5}{3x^3} + C$.

6) Для функции $f(x) = \frac{7}{\cos^2 x} + 2\sin x$ на промежутке $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ находим первообразную, используя табличные интегралы.
$F(x) = \int (\frac{7}{\cos^2 x} + 2\sin x)dx = 7\int \frac{1}{\cos^2 x} dx + 2\int \sin x dx$.
Из таблицы интегралов известно, что $\int \frac{1}{\cos^2 x} dx = \tan x$ и $\int \sin x dx = -\cos x$.
Следовательно:
$F(x) = 7\tan x + 2(-\cos x) + C = 7\tan x - 2\cos x + C$.
Ответ: $F(x) = 7\tan x - 2\cos x + C$.

7) Для функции $f(x) = 6\sqrt[3]{x} - 9x^8$ на промежутке $(-\infty; +\infty)$ преобразуем ее к степенному виду: $f(x) = 6x^{1/3} - 9x^8$.
Находим первообразную:
$F(x) = \int (6x^{1/3} - 9x^8)dx = 6\int x^{1/3} dx - 9\int x^8 dx$.
$F(x) = 6 \cdot \frac{x^{1/3+1}}{1/3+1} - 9 \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} + C = 6 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} - 9 \cdot \frac{x^9}{9} + C$.
Упрощая, получаем:
$F(x) = 6 \cdot \frac{3}{4}x^{4/3} - x^9 + C = \frac{9}{2}x^{4/3} - x^9 + C$.
Ответ: $F(x) = \frac{9}{2}x^{4/3} - x^9 + C$.