Номер 82, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

82. Функция $F$ — первообразная функции $f(x) = 4x + 8$, график которой имеет с графиком функции $f$ общую точку, принадлежащую оси ординат. Найдите первообразную $F$ и все точки пересечения графиков функций $f$ и $F$.

Найдите первообразную F

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$. Чтобы найти общий вид всех первообразных для функции $f(x) = 4x + 8$, необходимо вычислить неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (4x + 8) dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 8x + C = 2x^2 + 8x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию задачи, график функции $F$ имеет с графиком функции $f$ общую точку, принадлежащую оси ординат. Любая точка на оси ординат имеет абсциссу (координату x), равную нулю. Следовательно, в точке с $x = 0$ значения функций должны быть равны:

$F(0) = f(0)$

Найдем значение $f(x)$ при $x=0$:

$f(0) = 4 \cdot 0 + 8 = 8$

Теперь найдем значение $F(x)$ при $x=0$:

$F(0) = 2 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 + C = C$

Приравнивая полученные значения, находим константу $C$:

$C = 8$

Таким образом, искомая первообразная $F$ имеет вид: $F(x) = 2x^2 + 8x + 8$.

Ответ: $F(x) = 2x^2 + 8x + 8$.

Найдите все точки пересечения графиков функций f и F

Точки пересечения графиков — это точки, в которых значения функций равны. Чтобы найти их абсциссы, решим уравнение $F(x) = f(x)$:

$2x^2 + 8x + 8 = 4x + 8$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$2x^2 + 8x + 8 - 4x - 8 = 0$

Приведем подобные члены:

$2x^2 + 4x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие ординаты (y) для каждой абсциссы, подставив их в уравнение для $f(x)$ (или $F(x)$).

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = 4 \cdot 0 + 8 = 8$.

Первая точка пересечения: $(0, 8)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = f(-2) = 4 \cdot (-2) + 8 = -8 + 8 = 0$.

Вторая точка пересечения: $(-2, 0)$.

Ответ: $(0, 8)$, $(-2, 0)$.