Номер 86, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

86. Найдите первообразную функции $f(x) = 5x - 3$, график которой имеет с прямой $y = 2$ только одну общую точку.

Для начала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 5x - 3$. Первообразная $F(x)$ является результатом интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (5x - 3) dx = 5 \int x dx - 3 \int dx = 5 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C$, где $C$ – произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной есть $F(x) = \frac{5}{2}x^2 - 3x + C$.

График этой функции представляет собой параболу. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{5}{2}$, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.

По условию задачи, график первообразной $F(x)$ имеет с прямой $y = 2$ только одну общую точку. Это возможно только в том случае, если прямая $y=2$ является касательной к параболе в ее вершине. Следовательно, ордината (координата $y$) вершины параболы должна быть равна 2.

Найдем координаты вершины параболы $y = \frac{5}{2}x^2 - 3x + C$. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{5}{2}} = -\frac{-3}{5} = \frac{3}{5}$.

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0$ в уравнение параболы:

$y_0 = F(x_0) = F(\frac{3}{5}) = \frac{5}{2} \cdot (\frac{3}{5})^2 - 3 \cdot \frac{3}{5} + C = \frac{5}{2} \cdot \frac{9}{25} - \frac{9}{5} + C = \frac{9}{10} - \frac{18}{10} + C = -\frac{9}{10} + C$.

Так как ордината вершины должна быть равна 2, получаем уравнение для нахождения $C$:

$y_0 = 2$

$-\frac{9}{10} + C = 2$

$C = 2 + \frac{9}{10} = \frac{20}{10} + \frac{9}{10} = \frac{29}{10}$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = \frac{5}{2}x^2 - 3x + \frac{29}{10}$.

Ответ: $F(x) = \frac{5}{2}x^2 - 3x + \frac{29}{10}$.