Номер 83, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Задайте формулой функцию, определённую на промежутке $(-\infty; +\infty)$, график которой проходит через точку $M(2; 10)$, а угловой коэффициент касательной, проведённой к этому графику в точке с абсциссой $x$, равен $4x^3 - 1$.

Пусть искомая функция обозначается как $y = f(x)$.

По определению, угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x$, равен значению производной этой функции в данной точке. То есть, $f'(x)$ равен угловому коэффициенту.

Из условия задачи нам дано, что угловой коэффициент касательной равен $4x^3 - 1$. Следовательно, мы можем записать:

$f'(x) = 4x^3 - 1$

Чтобы найти саму функцию $f(x)$, необходимо найти её первообразную, то есть вычислить неопределённый интеграл от её производной:

$f(x) = \int (4x^3 - 1) dx$

Используя правила интегрирования, находим:

$f(x) = \int 4x^3 dx - \int 1 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - x + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - x + C = x^4 - x + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования. Мы получили общее уравнение для семейства функций, удовлетворяющих условию о касательной: $f(x) = x^4 - x + C$.

Чтобы найти конкретную функцию из этого семейства, воспользуемся вторым условием: её график проходит через точку M(2; 10). Это означает, что при $x = 2$, значение функции $y$ равно 10, то есть $f(2) = 10$.

Подставим координаты точки M в найденное уравнение функции:

$10 = (2)^4 - 2 + C$

Теперь решим это уравнение относительно константы $C$:

$10 = 16 - 2 + C$
$10 = 14 + C$
$C = 10 - 14$
$C = -4$

Теперь, когда мы нашли значение $C$, мы можем записать итоговую формулу для искомой функции:

$f(x) = x^4 - x - 4$

Эта функция определена на всём промежутке $(-\infty; +\infty)$, так как является многочленом.

Ответ: $f(x) = x^4 - x - 4$