Номер 87, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Для функции $f(x) = 8 - 3x$ найдите такую первообразную, чтобы прямая $y = 2x - 16$ являлась касательной к её графику.

Пусть $F(x)$ — искомая первообразная для функции $f(x) = 8 - 3x$.

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная находится путём интегрирования исходной функции:

$F(x) = \int f(x)dx = \int (8 - 3x)dx = 8x - 3\frac{x^2}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

2. Прямая $y = 2x - 16$ является касательной к графику первообразной $F(x)$. Это означает, что в точке касания $x_0$ должны выполняться два условия:

• Значение производной первообразной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной.
• Значения первообразной и касательной в точке $x_0$ совпадают (точка касания принадлежит обоим графикам).

3. Найдём абсциссу точки касания $x_0$. Производная первообразной $F(x)$ есть исходная функция $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x) = 8 - 3x$. Угловой коэффициент касательной $y = 2x - 16$ равен $k=2$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту:

$F'(x_0) = k$

$8 - 3x_0 = 2$

$3x_0 = 8 - 2$

$3x_0 = 6$

$x_0 = 2$

4. Теперь найдём константу $C$. В точке касания $x_0 = 2$ значения функции $F(x)$ и касательной $y(x)$ должны быть равны: $F(2) = y(2)$.

Вычислим значение $y$ в точке $x_0 = 2$:

$y(2) = 2(2) - 16 = 4 - 16 = -12$.

Следовательно, $F(2) = -12$. Подставим $x=2$ и $F(2)=-12$ в общую формулу первообразной:

$F(2) = 8(2) - \frac{3}{2}(2)^2 + C = -12$

$16 - \frac{3}{2} \cdot 4 + C = -12$

$16 - 6 + C = -12$

$10 + C = -12$

$C = -12 - 10$

$C = -22$

5. Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = 8x - \frac{3}{2}x^2 - 22$

Ответ: $F(x) = 8x - \frac{3}{2}x^2 - 22$