Номер 81, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = 5 - 2t$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 4$ с точка находилась на расстоянии $32$ м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

Координата материальной точки $x(t)$ является первообразной для ее скорости $v(t)$. Чтобы найти зависимость координаты от времени, нужно проинтегрировать функцию скорости.

Дана функция скорости: $v(t) = 5 - 2t$.

Найдем общий вид первообразной для функции $v(t)$:

$x(t) = \int v(t) dt = \int (5 - 2t) dt = 5t - 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C = 5t - t^2 + C$, где $C$ — некоторая постоянная.

Теперь используем условие задачи, чтобы найти значение постоянной $C$. В момент времени $t = 4$ с точка находилась на расстоянии 32 м от начала координат. Это означает, что ее координата могла быть как $32$, так и $-32$. То есть, $|x(4)| = 32$, что равносильно $x(4) = 32$ или $x(4) = -32$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x(4) = 32$

Подставим значения $t=4$ и $x(4)=32$ в полученную формулу:

$32 = 5 \cdot 4 - 4^2 + C$

$32 = 20 - 16 + C$

$32 = 4 + C$

$C = 32 - 4 = 28$

В этом случае формула для координаты точки имеет вид: $x(t) = 5t - t^2 + 28$.

Случай 2: $x(4) = -32$

Подставим значения $t=4$ и $x(4)=-32$ в формулу:

$-32 = 5 \cdot 4 - 4^2 + C$

$-32 = 20 - 16 + C$

$-32 = 4 + C$

$C = -32 - 4 = -36$

В этом случае формула для координаты точки имеет вид: $x(t) = 5t - t^2 - 36$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две возможные формулы.

Ответ: $x(t) = 5t - t^2 + 28$ или $x(t) = 5t - t^2 - 36$.