Номер 85, страница 50 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Найдите общий вид первообразных функции $f$ на промежутке $I$:

1) $f(x) = \text{tg}^2 \frac{x}{3}$, $I = \left(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$;

2) $f(x) = \frac{5x^5 + x^6 - 2}{x^3}$, $I = (0; +\infty)$.

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \text{tg}^2 \frac{x}{3}$ на промежутке $I = (-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, необходимо найти неопределенный интеграл от этой функции.

Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, из которого следует, что $\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1$.

Применив это тождество к нашей функции, получим:

$f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{3}} - 1$.

Теперь найдем интеграл от этого выражения. Общий вид первообразных $F(x)$ находится по формуле:

$F(x) = \int \left( \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{3}} - 1 \right) dx = \int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{3}} - \int 1 dx$.

Найдем каждый интеграл по отдельности:

Первый интеграл $\int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{3}}$ является почти табличным. Используем формулу для интеграла сложной функции $\int g(kx+b)dx = \frac{1}{k}G(kx+b)+C$, где $G$ — первообразная для $g$. В нашем случае $k=\frac{1}{3}$, а первообразная для $\frac{1}{\cos^2 u}$ есть $\text{tg} u$.

$\int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{3}} = \frac{1}{1/3} \text{tg} \frac{x}{3} = 3 \text{tg} \frac{x}{3}$.

Второй интеграл: $\int 1 dx = x$.

Объединяя результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = 3 \text{tg} \frac{x}{3} - x + C$.

Функция $\text{tg} \frac{x}{3}$ определена и непрерывна на интервале $(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, так как на этом интервале $\cos \frac{x}{3} \neq 0$. Следовательно, найденная формула для первообразной верна на всем заданном промежутке.

Ответ: $F(x) = 3 \text{tg} \frac{x}{3} - x + C$.

2) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \frac{5x^5 + x^6 - 2}{x^3}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$, сначала упростим выражение для функции, разделив почленно числитель на знаменатель:

$f(x) = \frac{5x^5}{x^3} + \frac{x^6}{x^3} - \frac{2}{x^3} = 5x^{5-3} + x^{6-3} - 2x^{-3} = 5x^2 + x^3 - 2x^{-3}$.

Теперь найдем неопределенный интеграл от этой функции, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ для каждого слагаемого:

$F(x) = \int (5x^2 + x^3 - 2x^{-3}) dx = \int 5x^2 dx + \int x^3 dx - \int 2x^{-3} dx$.

Интегрируем каждое слагаемое:

$\int 5x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{5}{3}x^3$.

$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

$\int (-2x^{-3}) dx = -2 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = -2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Суммируя полученные результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = \frac{5}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{x^2} + C$.

Функция $f(x)$ и ее первообразная $F(x)$ определены и непрерывны на всем промежутке $I = (0; +\infty)$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} + \frac{1}{x^2} + C$.