Страница 50 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. Найдите первообразную функции $f(x) = 4x + 1$, один из нулей которой равен $-4$.

Чтобы найти первообразную функции $f(x)$, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = 4x + 1$ имеет вид:

$F(x) = \int (4x + 1) dx = \int 4x dx + \int 1 dx$

Используя таблицу первообразных, находим:

$F(x) = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = 2x^2 + x + C$

где $C$ — произвольная постоянная.

По условию задачи, один из нулей первообразной равен -4. Это означает, что при $x = -4$ значение функции $F(x)$ равно 0, то есть $F(-4) = 0$.

Подставим это значение в выражение для $F(x)$, чтобы найти константу $C$:

$F(-4) = 2(-4)^2 + (-4) + C = 0$

$2 \cdot 16 - 4 + C = 0$

$32 - 4 + C = 0$

$28 + C = 0$

$C = -28$

Теперь подставим найденное значение $C$ в общий вид первообразной, чтобы получить искомую функцию:

$F(x) = 2x^2 + x - 28$

Ответ: $F(x) = 2x^2 + x - 28$

80. Найдите первообразную функции $f(x) = 6x^2 + 4x - 5$, один из нулей которой равен 1.

Для нахождения первообразной функции $f(x)$ необходимо вычислить неопределенный интеграл от этой функции. Общий вид первообразной для функции $f(x) = 6x^2 + 4x - 5$ будет выглядеть следующим образом:

$F(x) = \int (6x^2 + 4x - 5)dx$

Используя правила интегрирования степенной функции, получаем:

$F(x) = 6 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 5x + C = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C = 2x^3 + 2x^2 - 5x + C$

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

В условии задачи сказано, что один из нулей первообразной равен 1. Это означает, что при подстановке $x = 1$ в функцию $F(x)$, ее значение будет равно нулю, то есть $F(1) = 0$. Используем это условие, чтобы найти значение константы $C$:

$F(1) = 2(1)^3 + 2(1)^2 - 5(1) + C = 0$

$2 \cdot 1 + 2 \cdot 1 - 5 + C = 0$

$2 + 2 - 5 + C = 0$

$-1 + C = 0$

$C = 1$

Теперь, когда мы нашли значение $C$, мы можем записать итоговую формулу для искомой первообразной, подставив $C=1$ в ее общий вид:

$F(x) = 2x^3 + 2x^2 - 5x + 1$

Ответ: $F(x) = 2x^3 + 2x^2 - 5x + 1$

81. Скорость материальной точки, которая движется по координатной прямой, изменяется по закону $v(t) = 5 - 2t$. Найдите формулу, которая выражает зависимость координаты точки от времени, если в момент времени $t = 4$ с точка находилась на расстоянии $32$ м от начала координат (скорость движения измеряется в метрах в секунду).

Координата материальной точки $x(t)$ является первообразной для ее скорости $v(t)$. Чтобы найти зависимость координаты от времени, нужно проинтегрировать функцию скорости.

Дана функция скорости: $v(t) = 5 - 2t$.

Найдем общий вид первообразной для функции $v(t)$:

$x(t) = \int v(t) dt = \int (5 - 2t) dt = 5t - 2 \cdot \frac{t^2}{2} + C = 5t - t^2 + C$, где $C$ — некоторая постоянная.

Теперь используем условие задачи, чтобы найти значение постоянной $C$. В момент времени $t = 4$ с точка находилась на расстоянии 32 м от начала координат. Это означает, что ее координата могла быть как $32$, так и $-32$. То есть, $|x(4)| = 32$, что равносильно $x(4) = 32$ или $x(4) = -32$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x(4) = 32$

Подставим значения $t=4$ и $x(4)=32$ в полученную формулу:

$32 = 5 \cdot 4 - 4^2 + C$

$32 = 20 - 16 + C$

$32 = 4 + C$

$C = 32 - 4 = 28$

В этом случае формула для координаты точки имеет вид: $x(t) = 5t - t^2 + 28$.

Случай 2: $x(4) = -32$

Подставим значения $t=4$ и $x(4)=-32$ в формулу:

$-32 = 5 \cdot 4 - 4^2 + C$

$-32 = 20 - 16 + C$

$-32 = 4 + C$

$C = -32 - 4 = -36$

В этом случае формула для координаты точки имеет вид: $x(t) = 5t - t^2 - 36$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две возможные формулы.

Ответ: $x(t) = 5t - t^2 + 28$ или $x(t) = 5t - t^2 - 36$.

82. Функция $F$ — первообразная функции $f(x) = 4x + 8$, график которой имеет с графиком функции $f$ общую точку, принадлежащую оси ординат. Найдите первообразную $F$ и все точки пересечения графиков функций $f$ и $F$.

Найдите первообразную F

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$. Чтобы найти общий вид всех первообразных для функции $f(x) = 4x + 8$, необходимо вычислить неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (4x + 8) dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 8x + C = 2x^2 + 8x + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

По условию задачи, график функции $F$ имеет с графиком функции $f$ общую точку, принадлежащую оси ординат. Любая точка на оси ординат имеет абсциссу (координату x), равную нулю. Следовательно, в точке с $x = 0$ значения функций должны быть равны:

$F(0) = f(0)$

Найдем значение $f(x)$ при $x=0$:

$f(0) = 4 \cdot 0 + 8 = 8$

Теперь найдем значение $F(x)$ при $x=0$:

$F(0) = 2 \cdot 0^2 + 8 \cdot 0 + C = C$

Приравнивая полученные значения, находим константу $C$:

$C = 8$

Таким образом, искомая первообразная $F$ имеет вид: $F(x) = 2x^2 + 8x + 8$.

Ответ: $F(x) = 2x^2 + 8x + 8$.

Найдите все точки пересечения графиков функций f и F

Точки пересечения графиков — это точки, в которых значения функций равны. Чтобы найти их абсциссы, решим уравнение $F(x) = f(x)$:

$2x^2 + 8x + 8 = 4x + 8$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

$2x^2 + 8x + 8 - 4x - 8 = 0$

Приведем подобные члены:

$2x^2 + 4x = 0$

Вынесем общий множитель $2x$ за скобки:

$2x(x + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

1) $2x = 0 \implies x_1 = 0$

2) $x + 2 = 0 \implies x_2 = -2$

Теперь найдем соответствующие ординаты (y) для каждой абсциссы, подставив их в уравнение для $f(x)$ (или $F(x)$).

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = 4 \cdot 0 + 8 = 8$.

Первая точка пересечения: $(0, 8)$.

Для $x_2 = -2$:

$y_2 = f(-2) = 4 \cdot (-2) + 8 = -8 + 8 = 0$.

Вторая точка пересечения: $(-2, 0)$.

Ответ: $(0, 8)$, $(-2, 0)$.

83. Задайте формулой функцию, определённую на промежутке $(-\infty; +\infty)$, график которой проходит через точку $M(2; 10)$, а угловой коэффициент касательной, проведённой к этому графику в точке с абсциссой $x$, равен $4x^3 - 1$.

Пусть искомая функция обозначается как $y = f(x)$.

По определению, угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой $x$, равен значению производной этой функции в данной точке. То есть, $f'(x)$ равен угловому коэффициенту.

Из условия задачи нам дано, что угловой коэффициент касательной равен $4x^3 - 1$. Следовательно, мы можем записать:

$f'(x) = 4x^3 - 1$

Чтобы найти саму функцию $f(x)$, необходимо найти её первообразную, то есть вычислить неопределённый интеграл от её производной:

$f(x) = \int (4x^3 - 1) dx$

Используя правила интегрирования, находим:

$f(x) = \int 4x^3 dx - \int 1 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} - x + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - x + C = x^4 - x + C$

Здесь $C$ — это константа интегрирования. Мы получили общее уравнение для семейства функций, удовлетворяющих условию о касательной: $f(x) = x^4 - x + C$.

Чтобы найти конкретную функцию из этого семейства, воспользуемся вторым условием: её график проходит через точку M(2; 10). Это означает, что при $x = 2$, значение функции $y$ равно 10, то есть $f(2) = 10$.

Подставим координаты точки M в найденное уравнение функции:

$10 = (2)^4 - 2 + C$

Теперь решим это уравнение относительно константы $C$:

$10 = 16 - 2 + C$
$10 = 14 + C$
$C = 10 - 14$
$C = -4$

Теперь, когда мы нашли значение $C$, мы можем записать итоговую формулу для искомой функции:

$f(x) = x^4 - x - 4$

Эта функция определена на всём промежутке $(-\infty; +\infty)$, так как является многочленом.

Ответ: $f(x) = x^4 - x - 4$

84. Найдите:

1) $ \int (6x - x^2)^2 dx; $

2) $ \int \cos^2 4x dx; $

3) $ \int \cos 7x \cos 4x dx. $

1) Для нахождения интеграла $\int (6x - x^2)^2 dx$ сначала раскроем скобки в подынтегральном выражении, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(6x - x^2)^2 = (6x)^2 - 2 \cdot 6x \cdot x^2 + (x^2)^2 = 36x^2 - 12x^3 + x^4$.

Теперь проинтегрируем полученный многочлен почленно, используя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int (36x^2 - 12x^3 + x^4) dx = \int 36x^2 dx - \int 12x^3 dx + \int x^4 dx = 36 \frac{x^{2+1}}{2+1} - 12 \frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{x^{4+1}}{4+1} + C = 36 \frac{x^3}{3} - 12 \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} + C = 12x^3 - 3x^4 + \frac{1}{5}x^5 + C$.

Ответ: $12x^3 - 3x^4 + \frac{1}{5}x^5 + C$.

2) Для нахождения интеграла $\int \cos^2 4x dx$ воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$.

В нашем случае $\alpha = 4x$, поэтому $\cos^2 4x = \frac{1 + \cos(2 \cdot 4x)}{2} = \frac{1 + \cos 8x}{2}$.

Подставим это выражение в интеграл:

$\int \cos^2 4x dx = \int \frac{1 + \cos 8x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 8x) dx = \frac{1}{2} (\int 1 dx + \int \cos 8x dx)$.

Теперь найдем каждый интеграл:

$\int 1 dx = x$.

$\int \cos 8x dx = \frac{1}{8} \sin 8x$.

Объединим результаты и добавим константу интегрирования $C$:

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{8} \sin 8x) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \sin 8x + C$.

Ответ: $\frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \sin 8x + C$.

3) Для нахождения интеграла $\int \cos 7x \cos 4x dx$ применим тригонометрическую формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))$.

В данном случае $\alpha = 7x$ и $\beta = 4x$.

$\cos 7x \cos 4x = \frac{1}{2}(\cos(7x - 4x) + \cos(7x + 4x)) = \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 11x)$.

Подставим полученное выражение в интеграл:

$\int \cos 7x \cos 4x dx = \int \frac{1}{2}(\cos 3x + \cos 11x) dx = \frac{1}{2} \int (\cos 3x + \cos 11x) dx = \frac{1}{2} (\int \cos 3x dx + \int \cos 11x dx)$.

Интегрируем каждое слагаемое:

$\int \cos 3x dx = \frac{1}{3} \sin 3x$.

$\int \cos 11x dx = \frac{1}{11} \sin 11x$.

Теперь объединим результаты:

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} \sin 3x + \frac{1}{11} \sin 11x) + C = \frac{1}{6} \sin 3x + \frac{1}{22} \sin 11x + C$.

Ответ: $\frac{1}{6} \sin 3x + \frac{1}{22} \sin 11x + C$.

85. Найдите общий вид первообразных функции $f$ на промежутке $I$:

1) $f(x) = \text{tg}^2 \frac{x}{3}$, $I = \left(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right)$;

2) $f(x) = \frac{5x^5 + x^6 - 2}{x^3}$, $I = (0; +\infty)$.

1) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \text{tg}^2 \frac{x}{3}$ на промежутке $I = (-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, необходимо найти неопределенный интеграл от этой функции.

Используем тригонометрическое тождество $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$, из которого следует, что $\text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha} - 1$.

Применив это тождество к нашей функции, получим:

$f(x) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{3}} - 1$.

Теперь найдем интеграл от этого выражения. Общий вид первообразных $F(x)$ находится по формуле:

$F(x) = \int \left( \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{3}} - 1 \right) dx = \int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{3}} - \int 1 dx$.

Найдем каждый интеграл по отдельности:

Первый интеграл $\int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{3}}$ является почти табличным. Используем формулу для интеграла сложной функции $\int g(kx+b)dx = \frac{1}{k}G(kx+b)+C$, где $G$ — первообразная для $g$. В нашем случае $k=\frac{1}{3}$, а первообразная для $\frac{1}{\cos^2 u}$ есть $\text{tg} u$.

$\int \frac{dx}{\cos^2 \frac{x}{3}} = \frac{1}{1/3} \text{tg} \frac{x}{3} = 3 \text{tg} \frac{x}{3}$.

Второй интеграл: $\int 1 dx = x$.

Объединяя результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = 3 \text{tg} \frac{x}{3} - x + C$.

Функция $\text{tg} \frac{x}{3}$ определена и непрерывна на интервале $(-\frac{3\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$, так как на этом интервале $\cos \frac{x}{3} \neq 0$. Следовательно, найденная формула для первообразной верна на всем заданном промежутке.

Ответ: $F(x) = 3 \text{tg} \frac{x}{3} - x + C$.

2) Для нахождения общего вида первообразных функции $f(x) = \frac{5x^5 + x^6 - 2}{x^3}$ на промежутке $I = (0; +\infty)$, сначала упростим выражение для функции, разделив почленно числитель на знаменатель:

$f(x) = \frac{5x^5}{x^3} + \frac{x^6}{x^3} - \frac{2}{x^3} = 5x^{5-3} + x^{6-3} - 2x^{-3} = 5x^2 + x^3 - 2x^{-3}$.

Теперь найдем неопределенный интеграл от этой функции, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ для каждого слагаемого:

$F(x) = \int (5x^2 + x^3 - 2x^{-3}) dx = \int 5x^2 dx + \int x^3 dx - \int 2x^{-3} dx$.

Интегрируем каждое слагаемое:

$\int 5x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{5}{3}x^3$.

$\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}$.

$\int (-2x^{-3}) dx = -2 \cdot \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = -2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Суммируя полученные результаты и добавляя произвольную постоянную $C$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = \frac{5}{3}x^3 + \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{x^2} + C$.

Функция $f(x)$ и ее первообразная $F(x)$ определены и непрерывны на всем промежутке $I = (0; +\infty)$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{5x^3}{3} + \frac{1}{x^2} + C$.

86. Найдите первообразную функции $f(x) = 5x - 3$, график которой имеет с прямой $y = 2$ только одну общую точку.

Для начала найдем общий вид первообразной для функции $f(x) = 5x - 3$. Первообразная $F(x)$ является результатом интегрирования функции $f(x)$:

$F(x) = \int (5x - 3) dx = 5 \int x dx - 3 \int dx = 5 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C$, где $C$ – произвольная постоянная.

Таким образом, общий вид первообразной есть $F(x) = \frac{5}{2}x^2 - 3x + C$.

График этой функции представляет собой параболу. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{5}{2}$, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.

По условию задачи, график первообразной $F(x)$ имеет с прямой $y = 2$ только одну общую точку. Это возможно только в том случае, если прямая $y=2$ является касательной к параболе в ее вершине. Следовательно, ордината (координата $y$) вершины параболы должна быть равна 2.

Найдем координаты вершины параболы $y = \frac{5}{2}x^2 - 3x + C$. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{5}{2}} = -\frac{-3}{5} = \frac{3}{5}$.

Теперь найдем ординату вершины $y_0$, подставив значение $x_0$ в уравнение параболы:

$y_0 = F(x_0) = F(\frac{3}{5}) = \frac{5}{2} \cdot (\frac{3}{5})^2 - 3 \cdot \frac{3}{5} + C = \frac{5}{2} \cdot \frac{9}{25} - \frac{9}{5} + C = \frac{9}{10} - \frac{18}{10} + C = -\frac{9}{10} + C$.

Так как ордината вершины должна быть равна 2, получаем уравнение для нахождения $C$:

$y_0 = 2$

$-\frac{9}{10} + C = 2$

$C = 2 + \frac{9}{10} = \frac{20}{10} + \frac{9}{10} = \frac{29}{10}$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = \frac{5}{2}x^2 - 3x + \frac{29}{10}$.

Ответ: $F(x) = \frac{5}{2}x^2 - 3x + \frac{29}{10}$.

87. Для функции $f(x) = 8 - 3x$ найдите такую первообразную, чтобы прямая $y = 2x - 16$ являлась касательной к её графику.

Пусть $F(x)$ — искомая первообразная для функции $f(x) = 8 - 3x$.

1. Найдём общий вид первообразной для функции $f(x)$. Первообразная находится путём интегрирования исходной функции:

$F(x) = \int f(x)dx = \int (8 - 3x)dx = 8x - 3\frac{x^2}{2} + C$, где $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

2. Прямая $y = 2x - 16$ является касательной к графику первообразной $F(x)$. Это означает, что в точке касания $x_0$ должны выполняться два условия:

• Значение производной первообразной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной.
• Значения первообразной и касательной в точке $x_0$ совпадают (точка касания принадлежит обоим графикам).

3. Найдём абсциссу точки касания $x_0$. Производная первообразной $F(x)$ есть исходная функция $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x) = 8 - 3x$. Угловой коэффициент касательной $y = 2x - 16$ равен $k=2$.

Приравняем производную к угловому коэффициенту:

$F'(x_0) = k$

$8 - 3x_0 = 2$

$3x_0 = 8 - 2$

$3x_0 = 6$

$x_0 = 2$

4. Теперь найдём константу $C$. В точке касания $x_0 = 2$ значения функции $F(x)$ и касательной $y(x)$ должны быть равны: $F(2) = y(2)$.

Вычислим значение $y$ в точке $x_0 = 2$:

$y(2) = 2(2) - 16 = 4 - 16 = -12$.

Следовательно, $F(2) = -12$. Подставим $x=2$ и $F(2)=-12$ в общую формулу первообразной:

$F(2) = 8(2) - \frac{3}{2}(2)^2 + C = -12$

$16 - \frac{3}{2} \cdot 4 + C = -12$

$16 - 6 + C = -12$

$10 + C = -12$

$C = -12 - 10$

$C = -22$

5. Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем искомую функцию:

$F(x) = 8x - \frac{3}{2}x^2 - 22$

Ответ: $F(x) = 8x - \frac{3}{2}x^2 - 22$