Страница 56 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. На рисунке 8 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4.5; 4]$. Пользуясь рисунком, вычислите значение выражения $F(2) - F(-4)$, где функция $F$ — одна из первообразных функций $f$.

Рис. 8

По условию, функция $F$ является одной из первообразных для функции $f$. Согласно формуле Ньютона-Лейбница, значение выражения $F(b) - F(a)$ равно определённому интегралу от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$:

$F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Таким образом, чтобы найти значение выражения $F(2) - F(-4)$, нам нужно вычислить интеграл:

$F(2) - F(-4) = \int_{-4}^{2} f(x) \,dx$

Геометрический смысл определённого интеграла для неотрицательной функции — это площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. В нашем случае, это площадь фигуры под графиком $y = f(x)$ на отрезке от $x = -4$ до $x = 2$.

Эту фигуру (криволинейную трапецию) можно разбить на две более простые фигуры: прямоугольник (на отрезке $[-4, 1]$) и прямоугольную трапецию (на отрезке $[1, 2]$).

1. Найдем площадь прямоугольника на отрезке $[-4, 1]$.
Его ширина равна $1 - (-4) = 5$.
Высота, согласно графику, постоянна и равна $3$.
Площадь прямоугольника $S_1$ равна произведению ширины на высоту:
$S_1 = 5 \cdot 3 = 15$.

2. Найдем площадь прямоугольной трапеции на отрезке $[1, 2]$.
Высота трапеции равна $2 - 1 = 1$.
Основаниями трапеции являются значения функции в точках $x=1$ и $x=2$.
Из графика видно, что $f(1) = 3$.
Значение $f(2)$ можно найти, определив уравнение прямой, проходящей через точки $(1, 3)$ и $(4, 0)$. Её угловой коэффициент $k = \frac{0-3}{4-1} = -1$. Уравнение прямой: $y - 3 = -1(x - 1)$, откуда $y = -x + 4$.
Тогда $f(2) = -2 + 4 = 2$.
Площадь трапеции $S_2$ равна произведению полусуммы оснований на высоту:
$S_2 = \frac{f(1) + f(2)}{2} \cdot (2-1) = \frac{3 + 2}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2} = 2.5$.

Общая площадь, а следовательно, и значение искомого выражения, равна сумме площадей этих фигур:

$F(2) - F(-4) = S_1 + S_2 = 15 + 2.5 = 17.5$.

Ответ: 17.5

101. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите:

1) $\int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} \sqrt{8 - x^2} dx;$

2) $\int_{0}^{2} \sqrt{4x - x^2} dx;$

3) $\int_{-3}^{1} \sqrt{7 - 6x - x^2} dx.$

Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ для неотрицательной функции $f(x)$ — это площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$. В данной задаче подынтегральные функции представляют собой уравнения верхних полуокружностей.

1) $\int_{-2\sqrt{2}}^{2\sqrt{2}} \sqrt{8 - x^2} dx$

Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{8 - x^2}$. Так как корень арифметический, то $y \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $y^2 = 8 - x^2$.

Перенесем $x^2$ в левую часть: $x^2 + y^2 = 8$.

Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R$, где $R^2 = 8$, то есть $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Таким образом, функция $y = \sqrt{8 - x^2}$ задает верхнюю полуокружность этой окружности.

Пределы интегрирования от $x = -2\sqrt{2}$ до $x = 2\sqrt{2}$ соответствуют отрезку от $-R$ до $R$. Следовательно, интеграл численно равен площади верхней полуокружности радиуса $R = 2\sqrt{2}$.

Площадь всего круга вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi R^2$. Площадь полукруга равна половине площади круга:

$S = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (2\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2} \pi (4 \cdot 2) = \frac{1}{2} \pi \cdot 8 = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$

2) $\int_{0}^{2} \sqrt{4x - x^2} dx$

Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{4x - x^2}$. Здесь также $y \ge 0$.

Возведем обе части в квадрат: $y^2 = 4x - x^2$.

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат: $x^2 - 4x + y^2 = 0$.

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$.

Это уравнение окружности с центром в точке $(2, 0)$ и радиусом $R$, где $R^2 = 4$, то есть $R = 2$.

Функция $y = \sqrt{4x - x^2}$ задает верхнюю полуокружность этой окружности.

Пределы интегрирования от $x = 0$ до $x = 2$. Окружность с центром $(2, 0)$ и радиусом $2$ расположена на оси $Ox$ на отрезке $[2-2, 2+2] = [0, 4]$. Отрезок интегрирования $[0, 2]$ является левой половиной диаметра этой окружности. Следовательно, интеграл численно равен площади четверти круга радиуса $R = 2$.

Площадь четверти круга равна:

$S = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (2)^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 4 = \pi$.

Ответ: $\pi$

3) $\int_{-3}^{1} \sqrt{7 - 6x - x^2} dx$

Рассмотрим подынтегральную функцию $y = \sqrt{7 - 6x - x^2}$. Условие $y \ge 0$ выполняется.

Возведем обе части в квадрат: $y^2 = 7 - 6x - x^2$.

Перегруппируем слагаемые и выделим полный квадрат: $x^2 + 6x + y^2 = 7$.

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + y^2 = 7$

$(x + 3)^2 + y^2 = 16$.

Это уравнение окружности с центром в точке $(-3, 0)$ и радиусом $R$, где $R^2 = 16$, то есть $R = 4$.

Функция $y = \sqrt{7 - 6x - x^2}$ задает верхнюю полуокружность.

Пределы интегрирования от $x = -3$ до $x = 1$. Окружность с центром $(-3, 0)$ и радиусом $4$ расположена на оси $Ox$ на отрезке $[-3-4, -3+4] = [-7, 1]$. Отрезок интегрирования $[-3, 1]$ является правой половиной диаметра этой окружности. Следовательно, интеграл численно равен площади четверти круга радиуса $R = 4$.

Площадь четверти круга равна:

$S = \frac{1}{4} \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi (4)^2 = \frac{1}{4} \pi \cdot 16 = 4\pi$.

Ответ: $4\pi$