Номер 99, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

99. Вычислите интеграл:

1) $\int_{\pi/8}^{\pi/4} \text{ctg}^2 2x\,dx;$

2) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\sin^2 \frac{x}{6}\,dx;$

3) $\int_{\pi/12}^{5\pi/12} \sin 3x \sin x\,dx;$

4) $\int_{-2}^{1} (x^2 + x)^2\,dx;$

5) $\int_{2}^{3} \frac{x^2 - x + 2}{x^4}\,dx;$

6) $\int_{0}^{\ln 4} (e^{2x} + 2)^2\,dx;$

7) $\int_{0}^{2} \frac{12^x - 7 \cdot 2^x}{4^x}\,dx;$

8) $\int_{-4}^{-1} \frac{2x^2 + x - 3}{x}\,dx;$

9) $\int_{-2}^{-1} \frac{e^x - x^3}{x^3e^x}\,dx.$

1) Для вычисления интеграла $\int_{\pi/8}^{\pi/4} \ctg^2(2x) dx$ воспользуемся тригонометрическим тождеством $\ctg^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} - 1$.
Интеграл принимает вид:
$\int_{\pi/8}^{\pi/4} \left(\frac{1}{\sin^2(2x)} - 1\right) dx$
Первообразная для подынтегральной функции равна $-\frac{1}{2}\ctg(2x) - x$, так как $\int \frac{1}{\sin^2(kx)} dx = -\frac{1}{k}\ctg(kx) + C$.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\left[-\frac{1}{2}\ctg(2x) - x\right]_{\pi/8}^{\pi/4} = \left(-\frac{1}{2}\ctg\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2}\ctg\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) - \frac{\pi}{8}\right)$
$= \left(-\frac{1}{2}\ctg\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2}\ctg\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{8}\right)$
$= \left(-\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{\pi}{8}\right) = -\frac{\pi}{4} - \left(-\frac{1}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{\pi}{8}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\sin^2\frac{x}{6} dx$ используем формулу понижения степени $2\sin^2(\alpha) = 1 - \cos(2\alpha)$.
В нашем случае $\alpha = \frac{x}{6}$, тогда $2\alpha = \frac{x}{3}$. Интеграл преобразуется к виду:
$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(1 - \cos\left(\frac{x}{3}\right)\right) dx$
Находим первообразную:
$\int \left(1 - \cos\left(\frac{x}{3}\right)\right) dx = x - 3\sin\left(\frac{x}{3}\right) + C$.
Вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left[x - 3\sin\left(\frac{x}{3}\right)\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \left(\frac{\pi}{2} - 3\sin\left(\frac{\pi/2}{3}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - 3\sin\left(\frac{-\pi/2}{3}\right)\right)$
$= \left(\frac{\pi}{2} - 3\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - 3\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \left(\frac{\pi}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2}\right)$
$= \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{3}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} = \pi - 3$.
Ответ: $\pi - 3$.

3) Для вычисления интеграла $\int_{\pi/12}^{5\pi/12} \sin(3x)\sin(x) dx$ применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов: $\sin(\alpha)\sin(\beta) = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
$\sin(3x)\sin(x) = \frac{1}{2}(\cos(3x-x) - \cos(3x+x)) = \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x))$.
Интеграл принимает вид:
$\int_{\pi/12}^{5\pi/12} \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x)) dx = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{4}\sin(4x)\right]_{\pi/12}^{5\pi/12}$
Подставляем верхний предел $x = \frac{5\pi}{12}$:
$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin\left(\frac{10\pi}{12}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{20\pi}{12}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8}\right) = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{16}$.
Подставляем нижний предел $x = \frac{\pi}{12}$:
$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{12}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{4\pi}{12}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8}\right) = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{3}}{16}$.
Вычитаем из значения на верхнем пределе значение на нижнем:
$\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{16}\right) - \left(\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{3}}{16}\right) = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{16} - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{16} = \frac{2\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$.

4) Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{1} (x^2 + x)^2 dx$ сначала раскроем скобки в подынтегральном выражении:
$(x^2 + x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot x + x^2 = x^4 + 2x^3 + x^2$.
Теперь интегрируем полученный многочлен:
$\int_{-2}^{1} (x^4 + 2x^3 + x^2) dx = \left[\frac{x^5}{5} + 2\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1} = \left[\frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1}$.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$\left(\frac{1^5}{5} + \frac{1^4}{2} + \frac{1^3}{3}\right) - \left(\frac{(-2)^5}{5} + \frac{(-2)^4}{2} + \frac{(-2)^3}{3}\right) = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{-32}{5} + \frac{16}{2} - \frac{8}{3}\right)$
$= \left(\frac{6+15+10}{30}\right) - \left(-\frac{32}{5} + 8 - \frac{8}{3}\right) = \frac{31}{30} - \left(\frac{-96+120-40}{15}\right) = \frac{31}{30} - \left(\frac{-16}{15}\right)$
$= \frac{31}{30} + \frac{16}{15} = \frac{31}{30} + \frac{32}{30} = \frac{63}{30} = \frac{21}{10}$.
Ответ: $\frac{21}{10}$.

5) Для вычисления интеграла $\int_{2}^{3} \frac{x^2 - x + 2}{x^4} dx$ разделим числитель на знаменатель почленно:
$\frac{x^2 - x + 2}{x^4} = \frac{x^2}{x^4} - \frac{x}{x^4} + \frac{2}{x^4} = x^{-2} - x^{-3} + 2x^{-4}$.
Интегрируем полученное выражение:
$\int_{2}^{3} (x^{-2} - x^{-3} + 2x^{-4}) dx = \left[\frac{x^{-1}}{-1} - \frac{x^{-2}}{-2} + 2\frac{x^{-3}}{-3}\right]_{2}^{3} = \left[-\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} - \frac{2}{3x^3}\right]_{2}^{3}$.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 3^2} - \frac{2}{3 \cdot 3^3}\right) - \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2^2} - \frac{2}{3 \cdot 2^3}\right) = \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{18} - \frac{2}{81}\right) - \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{8} - \frac{2}{24}\right)$
$= \left(\frac{-54+9-4}{162}\right) - \left(\frac{-12+3-2}{24}\right) = -\frac{49}{162} - \left(-\frac{11}{24}\right) = -\frac{49}{162} + \frac{11}{24}$
Приводим к общему знаменателю 648:
$= -\frac{49 \cdot 4}{648} + \frac{11 \cdot 27}{648} = \frac{-196 + 297}{648} = \frac{101}{648}$.
Ответ: $\frac{101}{648}$.

6) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\ln 4} (e^{2x} + 2)^2 dx$ раскроем квадрат суммы:
$(e^{2x} + 2)^2 = (e^{2x})^2 + 2 \cdot e^{2x} \cdot 2 + 2^2 = e^{4x} + 4e^{2x} + 4$.
Интегрируем полученное выражение:
$\int_{0}^{\ln 4} (e^{4x} + 4e^{2x} + 4) dx = \left[\frac{1}{4}e^{4x} + 4\frac{1}{2}e^{2x} + 4x\right]_{0}^{\ln 4} = \left[\frac{1}{4}e^{4x} + 2e^{2x} + 4x\right]_{0}^{\ln 4}$.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left(\frac{1}{4}e^{4\ln 4} + 2e^{2\ln 4} + 4\ln 4\right) - \left(\frac{1}{4}e^{0} + 2e^{0} + 4 \cdot 0\right)$
Используя свойство $a\ln b = \ln b^a$ и $e^{\ln c} = c$: $e^{4\ln 4} = e^{\ln 4^4} = 256$, $e^{2\ln 4} = e^{\ln 4^2} = 16$.
$= \left(\frac{1}{4} \cdot 256 + 2 \cdot 16 + 4\ln 4\right) - \left(\frac{1}{4} + 2\right) = (64 + 32 + 4\ln 4) - \frac{9}{4} = 96 + 4\ln 4 - \frac{9}{4}$
$= \frac{384-9}{4} + 4\ln 4 = \frac{375}{4} + 4\ln 4$.
Ответ: $\frac{375}{4} + 4\ln 4$.

7) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{2} \frac{12^x - 7 \cdot 2^x}{4^x} dx$ упростим подынтегральное выражение:
$\frac{12^x - 7 \cdot 2^x}{4^x} = \frac{(3 \cdot 4)^x - 7 \cdot 2^x}{4^x} = \frac{3^x \cdot 4^x}{4^x} - \frac{7 \cdot 2^x}{4^x} = 3^x - 7\left(\frac{2}{4}\right)^x = 3^x - 7\left(\frac{1}{2}\right)^x$.
Интегрируем, используя формулу $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$:
$\int_{0}^{2} \left(3^x - 7\left(\frac{1}{2}\right)^x\right) dx = \left[\frac{3^x}{\ln 3} - 7\frac{(1/2)^x}{\ln(1/2)}\right]_{0}^{2} = \left[\frac{3^x}{\ln 3} + \frac{7 \cdot (1/2)^x}{\ln 2}\right]_{0}^{2}$.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left(\frac{3^2}{\ln 3} + \frac{7 \cdot (1/2)^2}{\ln 2}\right) - \left(\frac{3^0}{\ln 3} + \frac{7 \cdot (1/2)^0}{\ln 2}\right) = \left(\frac{9}{\ln 3} + \frac{7/4}{\ln 2}\right) - \left(\frac{1}{\ln 3} + \frac{7}{\ln 2}\right)$
$= \left(\frac{9}{\ln 3} - \frac{1}{\ln 3}\right) + \left(\frac{7}{4\ln 2} - \frac{7}{\ln 2}\right) = \frac{8}{\ln 3} + \left(\frac{7}{4\ln 2} - \frac{28}{4\ln 2}\right) = \frac{8}{\ln 3} - \frac{21}{4\ln 2}$.
Ответ: $\frac{8}{\ln 3} - \frac{21}{4\ln 2}$.

8) Для вычисления интеграла $\int_{-4}^{-1} \frac{2x^2 + x - 3}{x} dx$ разделим числитель на знаменатель почленно:
$\frac{2x^2 + x - 3}{x} = \frac{2x^2}{x} + \frac{x}{x} - \frac{3}{x} = 2x + 1 - \frac{3}{x}$.
Интегрируем полученное выражение:
$\int_{-4}^{-1} \left(2x + 1 - \frac{3}{x}\right) dx = \left[2\frac{x^2}{2} + x - 3\ln|x|\right]_{-4}^{-1} = \left[x^2 + x - 3\ln|x|\right]_{-4}^{-1}$.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left((-1)^2 + (-1) - 3\ln|-1|\right) - \left((-4)^2 + (-4) - 3\ln|-4|\right)$
$= (1 - 1 - 3\ln(1)) - (16 - 4 - 3\ln(4)) = (0 - 0) - (12 - 3\ln 4) = -12 + 3\ln 4$.
Ответ: $3\ln 4 - 12$.

9) Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{-1} \frac{e^x - x^3}{x^3e^x} dx$ упростим подынтегральное выражение:
$\frac{e^x - x^3}{x^3e^x} = \frac{e^x}{x^3e^x} - \frac{x^3}{x^3e^x} = \frac{1}{x^3} - \frac{1}{e^x} = x^{-3} - e^{-x}$.
Интегрируем полученное выражение:
$\int_{-2}^{-1} (x^{-3} - e^{-x}) dx = \left[\frac{x^{-2}}{-2} - (-e^{-x})\right]_{-2}^{-1} = \left[-\frac{1}{2x^2} + e^{-x}\right]_{-2}^{-1}$.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left(-\frac{1}{2(-1)^2} + e^{-(-1)}\right) - \left(-\frac{1}{2(-2)^2} + e^{-(-2)}\right) = \left(-\frac{1}{2} + e^1\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 4} + e^2\right)$
$= \left(e - \frac{1}{2}\right) - \left(e^2 - \frac{1}{8}\right) = e - \frac{1}{2} - e^2 + \frac{1}{8} = e - e^2 - \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = e - e^2 - \frac{3}{8}$.
Ответ: $e - e^2 - \frac{3}{8}$.