Номер 95, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = -x^2 - 2x$, касательной, проведённой к данной параболе в точке с абсциссой $x_0 = -2$, и осью ординат.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = -x^2 - 2x$, касательной к ней в точке с абсциссой $x_0 = -2$ и осью ординат, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти уравнение касательной.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае функция $f(x) = -x^2 - 2x$ и точка касания $x_0 = -2$.

Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) = -4 + 4 = 0$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(-2, 0)$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-x^2 - 2x)' = -2x - 2$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$ для определения углового коэффициента касательной:
$f'(-2) = -2(-2) - 2 = 4 - 2 = 2$.

Теперь подставим найденные значения в общую формулу уравнения касательной:
$y = 0 + 2(x - (-2))$
$y = 2(x + 2)$
$y = 2x + 4$.
Это и есть уравнение касательной.

2. Вычислить площадь фигуры.

Фигура ограничена тремя линиями: параболой $y_1 = -x^2 - 2x$, касательной $y_2 = 2x + 4$ и осью ординат, уравнение которой $x=0$.

Касание происходит в точке $x = -2$. Таким образом, фигура заключена между $x=-2$ и $x=0$. В этом интервале касательная $y_2 = 2x + 4$ находится выше параболы $y_1 = -x^2 - 2x$.

Площадь $S$ криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла от разности функций, ограничивающих фигуру сверху и снизу: $S = \int_{a}^{b} (y_{верх}(x) - y_{низ}(x)) dx$.

Подставляем наши функции и пределы интегрирования от $a=-2$ до $b=0$:
$S = \int_{-2}^{0} ((2x + 4) - (-x^2 - 2x)) dx$.

Упростим подынтегральное выражение:
$S = \int_{-2}^{0} (2x + 4 + x^2 + 2x) dx = \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 4) dx$.

Можно заметить, что $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.

Вычислим интеграл, найдя первообразную: $\int (x^2 + 4x + 4) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 4x = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница: $S = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{0} = (\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0) - (\frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2))$.

$S = 0 - (\frac{-8}{3} + 2 \cdot 4 - 8) = -(\frac{-8}{3} + 8 - 8) = -(-\frac{8}{3}) = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$