Номер 102, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

102. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = \sqrt{x}$ и прямыми $x = 9$ и $y = 0;$

2) косинусоидой $y = \cos x$ и прямыми $x = 0, x = \frac{\pi}{6}$ и $y = 0;$

3) графиком функции $y = 5 - x^2$ и прямыми $x = 0, x = 1$ и $y = 0.$

Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс ($Ox$) фигуры, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется формула:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

1)

Фигура ограничена графиком функции $y=\sqrt{x}$ и прямыми $x=9$ и $y=0$ (ось абсцисс). Нижний предел интегрирования находится из условия $y=0$, т.е. $\sqrt{x}=0$, откуда $x=0$. Таким образом, пределы интегрирования от $a=0$ до $b=9$. Подставляем функцию $f(x)=\sqrt{x}$ в формулу объёма:

$V = \pi \int_{0}^{9} (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_{0}^{9} x dx$

Вычисляем полученный интеграл:

$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{9} = \pi \left( \frac{9^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \pi \left( \frac{81}{2} - 0 \right) = \frac{81\pi}{2}$

Ответ: $V = \frac{81\pi}{2}$ или $40,5\pi$.

2)

Фигура ограничена косинусоидой $y=\cos x$ и прямыми $x=0$, $x=\frac{\pi}{6}$ и $y=0$. Пределы интегрирования заданы: от $a=0$ до $b=\frac{\pi}{6}$. Подставляем функцию $f(x)=\cos x$ в формулу объёма:

$V = \pi \int_{0}^{\pi/6} (\cos x)^2 dx = \pi \int_{0}^{\pi/6} \cos^2 x dx$

Для вычисления интеграла применим формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

$V = \pi \int_{0}^{\pi/6} \frac{1 + \cos(2x)}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi/6} (1 + \cos(2x)) dx$

Находим первообразную и вычисляем определённый интеграл:

$V = \frac{\pi}{2} \left[ x + \frac{1}{2}\sin(2x) \right]_{0}^{\pi/6} = \frac{\pi}{2} \left( \left(\frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\sin(0)\right) \right)$

$V = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \right) = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4} \right) = \frac{\pi^2}{12} + \frac{\pi\sqrt{3}}{8}$

Ответ: $V = \frac{\pi^2}{12} + \frac{\pi\sqrt{3}}{8}$.

3)

Фигура ограничена графиком функции $y=5-x^2$ и прямыми $x=0$, $x=1$ и $y=0$. Пределы интегрирования заданы: от $a=0$ до $b=1$. На этом отрезке функция $y=5-x^2$ положительна. Подставляем функцию в формулу объёма:

$V = \pi \int_{0}^{1} (5-x^2)^2 dx$

Раскроем квадрат разности в подынтегральном выражении:

$V = \pi \int_{0}^{1} (25 - 10x^2 + x^4) dx$

Вычисляем интеграл от многочлена:

$V = \pi \left[ 25x - \frac{10x^3}{3} + \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{1} = \pi \left( \left(25(1) - \frac{10(1)^3}{3} + \frac{(1)^5}{5}\right) - (0) \right)$

$V = \pi \left( 25 - \frac{10}{3} + \frac{1}{5} \right) = \pi \left( \frac{25 \cdot 15}{15} - \frac{10 \cdot 5}{15} + \frac{1 \cdot 3}{15} \right) = \pi \left( \frac{375 - 50 + 3}{15} \right) = \frac{328\pi}{15}$

Ответ: $V = \frac{328\pi}{15}$.