Номер 100, страница 56 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. На рисунке 8 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-4.5; 4]$. Пользуясь рисунком, вычислите значение выражения $F(2) - F(-4)$, где функция $F$ — одна из первообразных функций $f$.

Рис. 8

По условию, функция $F$ является одной из первообразных для функции $f$. Согласно формуле Ньютона-Лейбница, значение выражения $F(b) - F(a)$ равно определённому интегралу от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$:

$F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

Таким образом, чтобы найти значение выражения $F(2) - F(-4)$, нам нужно вычислить интеграл:

$F(2) - F(-4) = \int_{-4}^{2} f(x) \,dx$

Геометрический смысл определённого интеграла для неотрицательной функции — это площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. В нашем случае, это площадь фигуры под графиком $y = f(x)$ на отрезке от $x = -4$ до $x = 2$.

Эту фигуру (криволинейную трапецию) можно разбить на две более простые фигуры: прямоугольник (на отрезке $[-4, 1]$) и прямоугольную трапецию (на отрезке $[1, 2]$).

1. Найдем площадь прямоугольника на отрезке $[-4, 1]$.
Его ширина равна $1 - (-4) = 5$.
Высота, согласно графику, постоянна и равна $3$.
Площадь прямоугольника $S_1$ равна произведению ширины на высоту:
$S_1 = 5 \cdot 3 = 15$.

2. Найдем площадь прямоугольной трапеции на отрезке $[1, 2]$.
Высота трапеции равна $2 - 1 = 1$.
Основаниями трапеции являются значения функции в точках $x=1$ и $x=2$.
Из графика видно, что $f(1) = 3$.
Значение $f(2)$ можно найти, определив уравнение прямой, проходящей через точки $(1, 3)$ и $(4, 0)$. Её угловой коэффициент $k = \frac{0-3}{4-1} = -1$. Уравнение прямой: $y - 3 = -1(x - 1)$, откуда $y = -x + 4$.
Тогда $f(2) = -2 + 4 = 2$.
Площадь трапеции $S_2$ равна произведению полусуммы оснований на высоту:
$S_2 = \frac{f(1) + f(2)}{2} \cdot (2-1) = \frac{3 + 2}{2} \cdot 1 = \frac{5}{2} = 2.5$.

Общая площадь, а следовательно, и значение искомого выражения, равна сумме площадей этих фигур:

$F(2) - F(-4) = S_1 + S_2 = 15 + 2.5 = 17.5$.

Ответ: 17.5