gdz.top
Номер 97, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: бирюзовый
ISBN: 978-5-09-098610-6
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. Вариант 2. Площадь криволинейной трапеции. Определённый интеграл - номер 97, страница 55.
№96
№97 (с. 55)
Условие. №97 (с. 55)
97. Найдите, при каком значении $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a$, $x = a + 3$, будет принимать наименьшее значение.
Решение. №97 (с. 55)
Площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальными прямыми $x = a$ и $x = a + 3$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Так как функция $y = 3x^2$ неотрицательна при любых значениях $x$, площадь $S$ можно найти по формуле:
$S(a) = \int_{a}^{a+3} 3x^2 dx$
Вычислим этот интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $f(x) = 3x^2$ равна $F(x) = x^3$.
$S(a) = F(a+3) - F(a) = (a+3)^3 - a^3$
Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:
$S(a) = (a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 + 3^3) - a^3$
$S(a) = (a^3 + 9a^2 + 27a + 27) - a^3$
$S(a) = 9a^2 + 27a + 27$
Мы получили функцию площади $S(a)$, которая представляет собой квадратичную функцию от переменной $a$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $a^2$ (равный 9) положителен. Наименьшее значение такой функции достигается в вершине параболы.
Координату $a$ вершины параболы $S(a) = Aa^2 + Ba + C$ можно найти по формуле $a_0 = -\frac{B}{2A}$.
В нашем случае $A=9$ и $B=27$. Подставим эти значения в формулу:
$a = -\frac{27}{2 \cdot 9} = -\frac{27}{18} = -\frac{3}{2} = -1.5$
Таким образом, площадь фигуры принимает наименьшее значение при $a = -1.5$.
Ответ: $a = -1.5$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 97 расположенного на странице 55 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №97 (с. 55), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.