Номер 94, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиками функций $y = \sqrt{3-x}$ и $y = \sqrt{5+x}$ и осью абсцисс;

2) графиком функции $y = \begin{cases} \frac{6}{\pi}x & \text{при } 0 \le x < \frac{\pi}{2}, \\ 3\sin x & \text{при } \frac{\pi}{2} \le x \le \pi \end{cases}$ и осью абсцисс.

1) Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \sqrt{3-x}$, $y = \sqrt{5+x}$ и осью абсцисс, сначала определим пределы интегрирования. Для этого найдем точки пересечения графиков с осью абсцисс ($y=0$) и друг с другом.
Пересечение с осью абсцисс:
Для $y = \sqrt{3-x}$: $\sqrt{3-x} = 0 \implies x = 3$.
Для $y = \sqrt{5+x}$: $\sqrt{5+x} = 0 \implies x = -5$.
Пересечение графиков функций друг с другом:
$\sqrt{3-x} = \sqrt{5+x}$
Возведем обе части в квадрат:
$3-x = 5+x$
$2x = -2$
$x = -1$
Таким образом, фигура ограничена снизу осью абсцисс, а сверху — графиком функции $y = \sqrt{5+x}$ на промежутке $[-5, -1]$ и графиком функции $y = \sqrt{3-x}$ на промежутке $[-1, 3]$.
Площадь $S$ равна сумме двух интегралов:
$S = \int_{-5}^{-1} \sqrt{5+x} \,dx + \int_{-1}^{3} \sqrt{3-x} \,dx$
Вычислим первый интеграл:
$\int_{-5}^{-1} \sqrt{5+x} \,dx = \int_{-5}^{-1} (5+x)^{1/2} \,d(5+x) = \left[ \frac{2}{3}(5+x)^{3/2} \right]_{-5}^{-1} = \frac{2}{3}(5+(-1))^{3/2} - \frac{2}{3}(5+(-5))^{3/2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.
Вычислим второй интеграл:
$\int_{-1}^{3} \sqrt{3-x} \,dx = -\int_{-1}^{3} (3-x)^{1/2} \,d(3-x) = \left[ -\frac{2}{3}(3-x)^{3/2} \right]_{-1}^{3} = -\frac{2}{3}(3-3)^{3/2} - (-\frac{2}{3}(3-(-1))^{3/2}) = 0 + \frac{2}{3}(4)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.
Общая площадь:
$S = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.
Ответ: $\frac{32}{3}$

2) Площадь фигуры, ограниченной графиком кусочно-заданной функции и осью абсцисс, находится путем вычисления определенного интеграла. Так как функция задана на двух разных промежутках, площадь будет равна сумме интегралов на этих промежутках.
Функция имеет вид: $y = \begin{cases} \frac{6}{\pi}x & \text{при } 0 \le x < \frac{\pi}{2} \\ 3\sin x & \text{при } \frac{\pi}{2} \le x \le \pi \end{cases}$
Обе части функции неотрицательны на заданных промежутках, поэтому площадь $S$ можно найти как:
$S = \int_{0}^{\pi} y(x) \,dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{6}{\pi}x \,dx + \int_{\pi/2}^{\pi} 3\sin x \,dx$
Вычислим первый интеграл:
$\int_{0}^{\pi/2} \frac{6}{\pi}x \,dx = \frac{6}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{3}{\pi} ((\frac{\pi}{2})^2 - 0^2) = \frac{3}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Вычислим второй интеграл:
$\int_{\pi/2}^{\pi} 3\sin x \,dx = 3 \left[ -\cos x \right]_{\pi/2}^{\pi} = -3(\cos\pi - \cos\frac{\pi}{2}) = -3(-1 - 0) = 3$.
Сложим полученные значения, чтобы найти общую площадь:
$S = \frac{3\pi}{4} + 3$.
Ответ: $3 + \frac{3\pi}{4}$