Номер 98, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Фигура, о которой идет речь, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции $y = \frac{4}{x}$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=4$ и $x=9$.

Прямая $x = a$ разбивает эту фигуру на две равновеликие (равные по площади) фигуры. Это означает, что площадь фигуры под графиком от $x=4$ до $x=a$ должна быть равна половине общей площади всей фигуры от $x=4$ до $x=9$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла. Таким образом, условие можно записать в виде уравнения:

$\int_{4}^{a} \frac{4}{x} dx = \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{4}{x} dx$

Сначала найдем первообразную для функции $y = \frac{4}{x}$:

$F(x) = \int \frac{4}{x} dx = 4 \ln|x|$. На рассматриваемом промежутке $[4, 9]$ значение $x$ положительно, поэтому $F(x) = 4 \ln(x)$.

Теперь вычислим левую и правую части уравнения, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_{c}^{d} f(x) dx = F(d) - F(c)$.

Вычислим левую часть:

$\int_{4}^{a} \frac{4}{x} dx = F(a) - F(4) = 4 \ln(a) - 4 \ln(4) = 4 (\ln(a) - \ln(4)) = 4 \ln(\frac{a}{4})$

Вычислим интеграл в правой части:

$\int_{4}^{9} \frac{4}{x} dx = F(9) - F(4) = 4 \ln(9) - 4 \ln(4) = 4 (\ln(9) - \ln(4)) = 4 \ln(\frac{9}{4})$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$4 \ln(\frac{a}{4}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \ln(\frac{9}{4})$

Разделим обе части на 4:

$\ln(\frac{a}{4}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{9}{4})$

Используя свойство логарифма $k \ln(b) = \ln(b^k)$, преобразуем правую часть:

$\ln(\frac{a}{4}) = \ln((\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}})$

$\ln(\frac{a}{4}) = \ln(\sqrt{\frac{9}{4}})$

$\ln(\frac{a}{4}) = \ln(\frac{3}{2})$

Поскольку логарифмическая функция является монотонной, равенство логарифмов означает равенство их аргументов:

$\frac{a}{4} = \frac{3}{2}$

Отсюда находим $a$:

$a = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$

Найденное значение $a=6$ принадлежит интервалу $(4; 9)$, что соответствует условию задачи.

Ответ: $a=6$.