Номер 103, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Найдите объём тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной прямой $y = 4x$ и графиком функции $y = x^3$ при $x \geq 0$.

Для нахождения объёма тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной графиками функций $y = f_1(x)$ и $y = f_2(x)$, используется формула (метод шайб):

$V = \pi \int_a^b (f_1^2(x) - f_2^2(x)) \,dx$

где $f_1(x) \ge f_2(x)$ на отрезке $[a, b]$, а $a$ и $b$ — абсциссы точек пересечения графиков.

Нахождение пределов интегрирования

Сначала найдём абсциссы точек пересечения кривых $y = 4x$ и $y = x^3$, чтобы определить границы фигуры.

$4x = x^3$

$x^3 - 4x = 0$

$x(x^2 - 4) = 0$

$x(x - 2)(x + 2) = 0$

Корни уравнения: $x = 0$, $x = 2$, $x = -2$.

Согласно условию задачи, мы рассматриваем область при $x \ge 0$. Таким образом, пределы интегрирования будут от $a = 0$ до $b = 2$.

Определение верхней и нижней функций

На отрезке $[0, 2]$ необходимо определить, какая из функций принимает большие значения. Возьмём для проверки любую точку из этого интервала, например, $x = 1$.

При $x = 1$: $y_1 = 4x = 4(1) = 4$.

При $x = 1$: $y_2 = x^3 = 1^3 = 1$.

Так как $4 > 1$, на отрезке $[0, 2]$ график прямой $y = 4x$ находится выше графика кривой $y = x^3$. Следовательно, $f_1(x) = 4x$ (внешний радиус вращения) и $f_2(x) = x^3$ (внутренний радиус вращения).

Вычисление объёма

Теперь подставим найденные пределы и функции в формулу для объёма тела вращения:

$V = \pi \int_0^2 ((4x)^2 - (x^3)^2) \,dx = \pi \int_0^2 (16x^2 - x^6) \,dx$

Вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

$V = \pi \left[ \frac{16x^3}{3} - \frac{x^7}{7} \right]_0^2$

$V = \pi \left( \left( \frac{16 \cdot 2^3}{3} - \frac{2^7}{7} \right) - \left( \frac{16 \cdot 0^3}{3} - \frac{0^7}{7} \right) \right)$

$V = \pi \left( \frac{16 \cdot 8}{3} - \frac{128}{7} - 0 \right)$

$V = \pi \left( \frac{128}{3} - \frac{128}{7} \right)$

Приводим дроби к общему знаменателю (21):

$V = \pi \left( \frac{128 \cdot 7}{21} - \frac{128 \cdot 3}{21} \right) = \pi \left( \frac{896 - 384}{21} \right)$

$V = \pi \frac{512}{21}$

Ответ: $V = \frac{512\pi}{21}$.