Номер 106, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. Докажите неравенство $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdots \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$, где $n \in N$.

Для доказательства данного неравенства обозначим его левую часть как $P_n$:

$P_n = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{2n-1}{2n}$

Требуется доказать, что $P_n < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ для всех $n \in \mathbb{N}$.

Поскольку обе части неравенства положительны, мы можем возвести их в квадрат. Неравенство равносильно следующему:

$P_n^2 < \frac{1}{2n+1}$

Рассмотрим вспомогательное произведение $Q_n$:

$Q_n = \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{2n}{2n+1}$

Сравним соответствующие множители из произведений $P_n$ и $Q_n$. Для любого натурального $k$ в пределах от 1 до $n$ имеем:

$\frac{2k-1}{2k} < \frac{2k}{2k+1}$

Это неравенство верно, так как при перекрестном умножении (обе части положительны) получаем:

$(2k-1)(2k+1) < (2k)^2$

$4k^2 - 1 < 4k^2$

Последнее неравенство очевидно верно для любого натурального $k$.

Так как каждый множитель в произведении $P_n$ строго меньше соответствующего множителя в произведении $Q_n$, то и само произведение $P_n$ меньше произведения $Q_n$:

$P_n < Q_n$

Умножим обе части этого неравенства на $P_n$. Так как $P_n > 0$, знак неравенства не изменится:

$P_n^2 < P_n \cdot Q_n$

Теперь вычислим произведение $P_n \cdot Q_n$:

$P_n \cdot Q_n = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{2n-1}{2n}\right) \cdot \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \dots \cdot \frac{2n}{2n+1}\right)$

Запишем это произведение в виде одной дроби:

$P_n \cdot Q_n = \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n} \cdot \frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \dots \cdot (2n+1)}$

Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе, получаем:

$P_n \cdot Q_n = \frac{1}{2n+1}$

Подставим полученный результат в неравенство $P_n^2 < P_n \cdot Q_n$:

$P_n^2 < \frac{1}{2n+1}$

Извлекая квадратный корень из обеих частей (что возможно, так как обе части положительны), получаем исходное неравенство:

$P_n < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$

Таким образом, неравенство доказано.

Ответ: Неравенство $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \dots \cdot \frac{2n-1}{2n} < \frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ доказано для всех натуральных $n$.