Номер 107, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. При каких натуральных значениях $n$ выполняется неравенство:

1) $6^n > 5n + 1$;

2) $4^n > 18n - 15$?

1) $6^n > 5n + 1$

Решим данное неравенство для натуральных значений $n$. Поскольку аналитически решить такое неравенство сложно, воспользуемся методом перебора для малых $n$ и методом математической индукции для доказательства общего случая.

Проверим несколько первых натуральных значений $n$:

• При $n=1$: $6^1 > 5 \cdot 1 + 1 \Rightarrow 6 > 6$. Неверно.
• При $n=2$: $6^2 > 5 \cdot 2 + 1 \Rightarrow 36 > 11$. Верно.
• При $n=3$: $6^3 > 5 \cdot 3 + 1 \Rightarrow 216 > 16$. Верно.

Возникает гипотеза, что неравенство выполняется для всех натуральных $n \ge 2$. Докажем это с помощью метода математической индукции.

Шаг 1: База индукции.
При $n=2$ неравенство верно, как мы уже показали: $36 > 11$.

Шаг 2: Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 2$, то есть выполняется $6^k > 5k + 1$.

Шаг 3: Индукционный переход.
Докажем, что из предположения следует истинность неравенства для $n=k+1$, то есть $6^{k+1} > 5(k+1) + 1$.

Умножим обе части неравенства из индукционного предположения на 6:
$6 \cdot 6^k > 6 \cdot (5k + 1)$
$6^{k+1} > 30k + 6$

Теперь сравним полученную правую часть с той, что нам нужна, то есть с $5(k+1) + 1 = 5k + 5 + 1 = 5k + 6$. Нам нужно доказать, что $30k + 6 > 5k + 6$.
$30k > 5k$
$25k > 0$
Поскольку по условию $k \ge 2$, это неравенство очевидно верно.

Таким образом, мы получили цепочку неравенств: $6^{k+1} > 30k + 6 > 5k + 6 = 5(k+1)+1$.
Отсюда следует, что $6^{k+1} > 5(k+1)+1$. Индукционный переход доказан.

Следовательно, по принципу математической индукции, неравенство выполняется для всех натуральных $n \ge 2$.

Ответ: для всех натуральных $n \ge 2$.

2) $4^n > 18n - 15$

Решим неравенство для натуральных $n$. Проверим несколько первых значений.

• При $n=1$: $4^1 > 18 \cdot 1 - 15 \Rightarrow 4 > 3$. Верно.
• При $n=2$: $4^2 > 18 \cdot 2 - 15 \Rightarrow 16 > 36 - 15 \Rightarrow 16 > 21$. Неверно.
• При $n=3$: $4^3 > 18 \cdot 3 - 15 \Rightarrow 64 > 54 - 15 \Rightarrow 64 > 39$. Верно.
• При $n=4$: $4^4 > 18 \cdot 4 - 15 \Rightarrow 256 > 72 - 15 \Rightarrow 256 > 57$. Верно.

Мы видим, что неравенство выполняется при $n=1$ и, вероятно, для всех $n \ge 3$. Докажем методом математической индукции, что неравенство верно для всех натуральных $n \ge 3$.

Шаг 1: База индукции.
При $n=3$ неравенство $64 > 39$ верно.

Шаг 2: Индукционное предположение.
Предположим, что для некоторого натурального $k \ge 3$ выполняется неравенство $4^k > 18k - 15$.

Шаг 3: Индукционный переход.
Докажем, что неравенство верно и для $n=k+1$, то есть $4^{k+1} > 18(k+1) - 15$.

Умножим обе части неравенства из индукционного предположения на 4:
$4 \cdot 4^k > 4 \cdot (18k - 15)$
$4^{k+1} > 72k - 60$

Теперь докажем, что $72k - 60$ больше, чем правая часть искомого неравенства $18(k+1) - 15 = 18k + 3$.
Рассмотрим разность: $(72k - 60) - (18k + 3) = 54k - 63$.
Поскольку мы рассматриваем $k \ge 3$, то $54k \ge 54 \cdot 3 = 162$.
Следовательно, $54k - 63 \ge 162 - 63 = 99 > 0$.
Это означает, что $72k - 60 > 18k + 3$.

Таким образом, мы получили цепочку неравенств: $4^{k+1} > 72k - 60 > 18k + 3 = 18(k+1) - 15$.
Следовательно, $4^{k+1} > 18(k+1) - 15$. Шаг индукции доказан.

По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 3$.
Учитывая, что неравенство также выполняется при $n=1$, получаем итоговое решение.

Ответ: $n = 1$ и все натуральные $n \ge 3$.