Номер 108, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

1) Докажите, что для любого натурального $n$ значение выражения $17^n + 25 \cdot 4^n$ кратно 13.

Докажем данное утверждение методом математической индукции по $n$.

База индукции: Проверим, верно ли утверждение для $n=1$. При $n=1$ выражение принимает вид: $17^1 + 25 \cdot 4^1 = 17 + 100 = 117$. Поскольку $117 = 13 \cdot 9$, число 117 делится на 13. Следовательно, база индукции верна.

Индукционный переход: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть выражение $17^k + 25 \cdot 4^k$ кратно 13.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$. Рассмотрим выражение $17^{k+1} + 25 \cdot 4^{k+1}$:

$17^{k+1} + 25 \cdot 4^{k+1} = 17 \cdot 17^k + 25 \cdot 4 \cdot 4^k = 17 \cdot 17^k + 100 \cdot 4^k$

Преобразуем выражение, чтобы использовать индукционное предположение:

$17 \cdot 17^k + 100 \cdot 4^k = 17 \cdot (17^k + 25 \cdot 4^k) - 17 \cdot 25 \cdot 4^k + 100 \cdot 4^k$

$= 17 \cdot (17^k + 25 \cdot 4^k) - 425 \cdot 4^k + 100 \cdot 4^k$

$= 17 \cdot (17^k + 25 \cdot 4^k) - 325 \cdot 4^k$

Первое слагаемое, $17 \cdot (17^k + 25 \cdot 4^k)$, кратно 13 по нашему предположению. Второе слагаемое, $325 \cdot 4^k$, также кратно 13, поскольку $325 = 13 \cdot 25$. Разность двух чисел, каждое из которых кратно 13, также кратна 13.

Таким образом, индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) Докажите, что для любого натурального $n$ значение выражения $9^{n+1} - 8n - 9$ кратно 64.

Докажем данное утверждение методом математической индукции по $n$.

База индукции: Проверим, верно ли утверждение для $n=1$. При $n=1$ выражение принимает вид: $9^{1+1} - 8 \cdot 1 - 9 = 9^2 - 8 - 9 = 81 - 17 = 64$. Число 64 делится на 64. Следовательно, база индукции верна.

Индукционный переход: Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть выражение $9^{k+1} - 8k - 9$ кратно 64. Это означает, что существует такое целое число $m$, что $9^{k+1} - 8k - 9 = 64m$. Отсюда можно выразить $9^{k+1} = 64m + 8k + 9$.

Докажем, что утверждение верно и для $n=k+1$. Рассмотрим выражение $9^{(k+1)+1} - 8(k+1) - 9$:

$9^{k+2} - 8(k+1) - 9 = 9 \cdot 9^{k+1} - 8k - 8 - 9 = 9 \cdot 9^{k+1} - 8k - 17$

Подставим выражение для $9^{k+1}$ из индукционного предположения:

$9 \cdot (64m + 8k + 9) - 8k - 17 = 9 \cdot 64m + 9 \cdot 8k + 9 \cdot 9 - 8k - 17$

$= 9 \cdot 64m + 72k + 81 - 8k - 17$

$= 9 \cdot 64m + (72k - 8k) + (81 - 17)$

$= 9 \cdot 64m + 64k + 64$

Вынесем общий множитель 64 за скобки:

$64 \cdot (9m + k + 1)$

Поскольку $m$ и $k$ — натуральные числа, то выражение в скобках $(9m + k + 1)$ является целым числом. Следовательно, полученное выражение кратно 64.

Таким образом, индукционный переход доказан. По принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.