Номер 96, страница 55 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

96. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 2 - x$ и $y = |x^2 - 4|$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = 2 - x$ и $y = |x^2 - 4|$, необходимо найти точки пересечения этих графиков, а затем вычислить определенный интеграл разности функций.

Приравняем функции, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $2 - x = |x^2 - 4|$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай а): $x^2 - 4 \ge 0$, то есть $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Уравнение принимает вид $2 - x = x^2 - 4$, что эквивалентно $x^2 + x - 6 = 0$.

Находим корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -6$ и $x_1 + x_2 = -1$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Оба корня удовлетворяют условию $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$, следовательно, являются абсциссами точек пересечения.

Случай б): $x^2 - 4 < 0$, то есть $x \in (-2, 2)$.

Уравнение принимает вид $2 - x = -(x^2 - 4)$, то есть $2 - x = 4 - x^2$, что эквивалентно $x^2 - x - 2 = 0$.

Находим корни: $x_3 \cdot x_4 = -2$ и $x_3 + x_4 = 1$. Корни: $x_3 = 2$ и $x_4 = -1$.

Из этих корней только $x = -1$ удовлетворяет условию $x \in (-2, 2)$. Корень $x = 2$ не входит в интервал, но является его границей и уже был найден.

Таким образом, графики функций пересекаются в трех точках с абсциссами: $x = -3, x = -1, x = 2$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций. Пределы интегрирования определяются крайними точками пересечения: от $x = -3$ до $x = 2$.

Чтобы определить, какая функция является верхней, сравним их значения на интервалах между точками пересечения.

На отрезке $[-3, -1]$: возьмем тестовую точку $x = -2$. $y_1 = 2 - (-2) = 4$; $y_2 = |(-2)^2 - 4| = 0$. Так как $4 > 0$, на этом отрезке график $y=2-x$ лежит выше графика $y=|x^2-4|$.

На отрезке $[-1, 2]$: возьмем тестовую точку $x = 0$. $y_1 = 2 - 0 = 2$; $y_2 = |0^2 - 4| = 4$. Так как $4 > 2$, на этом отрезке график $y=|x^2-4|$ лежит выше графика $y=2-x$.

Формула для площади $S$ будет выглядеть так:

$S = \int_{-3}^{-1} ((2-x) - |x^2 - 4|) dx + \int_{-1}^{2} (|x^2 - 4| - (2-x)) dx$.

Выражение под модулем $x^2-4$ меняет знак в точках $x=-2$ и $x=2$. Точка $x=-2$ лежит внутри первого интервала интегрирования $[-3, -1]$. Поэтому необходимо разбить вычисление на три интеграла, учитывая, что $|x^2-4| = x^2-4$ при $x \le -2$ и $|x^2-4| = 4-x^2$ при $-2 < x < 2$.

$S = \int_{-3}^{-2} (2-x - (x^2-4)) dx + \int_{-2}^{-1} (2-x - (4-x^2)) dx + \int_{-1}^{2} ((4-x^2) - (2-x)) dx$

Упростим подынтегральные выражения:

$S = \int_{-3}^{-2} (-x^2 - x + 6) dx + \int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) dx + \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

Вычислим каждый интеграл:

1) $\int_{-3}^{-2} (-x^2 - x + 6) dx = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x\right]_{-3}^{-2}$

$= \left(-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 6(-2)\right) - \left(-\frac{(-3)^3}{3} - \frac{(-3)^2}{2} + 6(-3)\right)$

$= \left(\frac{8}{3} - 2 - 12\right) - \left(9 - \frac{9}{2} - 18\right) = \left(\frac{8-42}{3}\right) - \left(-9 - \frac{9}{2}\right) = -\frac{34}{3} - \left(-\frac{27}{2}\right) = \frac{-68+81}{6} = \frac{13}{6}$.

2) $\int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\right]_{-2}^{-1}$

$= \left(\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2(-1)\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} - 2(-2)\right)$

$= \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(-\frac{8}{3} - 2 + 4\right) = \left(\frac{-2-3+12}{6}\right) - \left(\frac{-8+6}{3}\right) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{7+4}{6} = \frac{11}{6}$.

3) $\int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-1}^{2}$

$= \left(-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2)\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1)\right)$

$= \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) = \left(\frac{-8+18}{3}\right) - \left(\frac{2+3-12}{6}\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{20+7}{6} = \frac{27}{6}$.

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти общую площадь:

$S = \frac{13}{6} + \frac{11}{6} + \frac{27}{6} = \frac{13+11+27}{6} = \frac{51}{6} = \frac{17}{2}$.

Ответ: $\frac{17}{2}$.