Страница 55 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Найдите площадь фигуры, ограниченной:

1) графиками функций $y = \sqrt{3-x}$ и $y = \sqrt{5+x}$ и осью абсцисс;

2) графиком функции $y = \begin{cases} \frac{6}{\pi}x & \text{при } 0 \le x < \frac{\pi}{2}, \\ 3\sin x & \text{при } \frac{\pi}{2} \le x \le \pi \end{cases}$ и осью абсцисс.

1) Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = \sqrt{3-x}$, $y = \sqrt{5+x}$ и осью абсцисс, сначала определим пределы интегрирования. Для этого найдем точки пересечения графиков с осью абсцисс ($y=0$) и друг с другом.
Пересечение с осью абсцисс:
Для $y = \sqrt{3-x}$: $\sqrt{3-x} = 0 \implies x = 3$.
Для $y = \sqrt{5+x}$: $\sqrt{5+x} = 0 \implies x = -5$.
Пересечение графиков функций друг с другом:
$\sqrt{3-x} = \sqrt{5+x}$
Возведем обе части в квадрат:
$3-x = 5+x$
$2x = -2$
$x = -1$
Таким образом, фигура ограничена снизу осью абсцисс, а сверху — графиком функции $y = \sqrt{5+x}$ на промежутке $[-5, -1]$ и графиком функции $y = \sqrt{3-x}$ на промежутке $[-1, 3]$.
Площадь $S$ равна сумме двух интегралов:
$S = \int_{-5}^{-1} \sqrt{5+x} \,dx + \int_{-1}^{3} \sqrt{3-x} \,dx$
Вычислим первый интеграл:
$\int_{-5}^{-1} \sqrt{5+x} \,dx = \int_{-5}^{-1} (5+x)^{1/2} \,d(5+x) = \left[ \frac{2}{3}(5+x)^{3/2} \right]_{-5}^{-1} = \frac{2}{3}(5+(-1))^{3/2} - \frac{2}{3}(5+(-5))^{3/2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.
Вычислим второй интеграл:
$\int_{-1}^{3} \sqrt{3-x} \,dx = -\int_{-1}^{3} (3-x)^{1/2} \,d(3-x) = \left[ -\frac{2}{3}(3-x)^{3/2} \right]_{-1}^{3} = -\frac{2}{3}(3-3)^{3/2} - (-\frac{2}{3}(3-(-1))^{3/2}) = 0 + \frac{2}{3}(4)^{3/2} = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3}$.
Общая площадь:
$S = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$.
Ответ: $\frac{32}{3}$

2) Площадь фигуры, ограниченной графиком кусочно-заданной функции и осью абсцисс, находится путем вычисления определенного интеграла. Так как функция задана на двух разных промежутках, площадь будет равна сумме интегралов на этих промежутках.
Функция имеет вид: $y = \begin{cases} \frac{6}{\pi}x & \text{при } 0 \le x < \frac{\pi}{2} \\ 3\sin x & \text{при } \frac{\pi}{2} \le x \le \pi \end{cases}$
Обе части функции неотрицательны на заданных промежутках, поэтому площадь $S$ можно найти как:
$S = \int_{0}^{\pi} y(x) \,dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{6}{\pi}x \,dx + \int_{\pi/2}^{\pi} 3\sin x \,dx$
Вычислим первый интеграл:
$\int_{0}^{\pi/2} \frac{6}{\pi}x \,dx = \frac{6}{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi/2} = \frac{3}{\pi} ((\frac{\pi}{2})^2 - 0^2) = \frac{3}{\pi} \cdot \frac{\pi^2}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Вычислим второй интеграл:
$\int_{\pi/2}^{\pi} 3\sin x \,dx = 3 \left[ -\cos x \right]_{\pi/2}^{\pi} = -3(\cos\pi - \cos\frac{\pi}{2}) = -3(-1 - 0) = 3$.
Сложим полученные значения, чтобы найти общую площадь:
$S = \frac{3\pi}{4} + 3$.
Ответ: $3 + \frac{3\pi}{4}$

95. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = -x^2 - 2x$, касательной, проведённой к данной параболе в точке с абсциссой $x_0 = -2$, и осью ординат.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой $y = -x^2 - 2x$, касательной к ней в точке с абсциссой $x_0 = -2$ и осью ординат, необходимо выполнить следующие действия:

1. Найти уравнение касательной.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае функция $f(x) = -x^2 - 2x$ и точка касания $x_0 = -2$.

Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(-2) = -(-2)^2 - 2(-2) = -4 + 4 = 0$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(-2, 0)$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (-x^2 - 2x)' = -2x - 2$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -2$ для определения углового коэффициента касательной:
$f'(-2) = -2(-2) - 2 = 4 - 2 = 2$.

Теперь подставим найденные значения в общую формулу уравнения касательной:
$y = 0 + 2(x - (-2))$
$y = 2(x + 2)$
$y = 2x + 4$.
Это и есть уравнение касательной.

2. Вычислить площадь фигуры.

Фигура ограничена тремя линиями: параболой $y_1 = -x^2 - 2x$, касательной $y_2 = 2x + 4$ и осью ординат, уравнение которой $x=0$.

Касание происходит в точке $x = -2$. Таким образом, фигура заключена между $x=-2$ и $x=0$. В этом интервале касательная $y_2 = 2x + 4$ находится выше параболы $y_1 = -x^2 - 2x$.

Площадь $S$ криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла от разности функций, ограничивающих фигуру сверху и снизу: $S = \int_{a}^{b} (y_{верх}(x) - y_{низ}(x)) dx$.

Подставляем наши функции и пределы интегрирования от $a=-2$ до $b=0$:
$S = \int_{-2}^{0} ((2x + 4) - (-x^2 - 2x)) dx$.

Упростим подынтегральное выражение:
$S = \int_{-2}^{0} (2x + 4 + x^2 + 2x) dx = \int_{-2}^{0} (x^2 + 4x + 4) dx$.

Можно заметить, что $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.

Вычислим интеграл, найдя первообразную: $\int (x^2 + 4x + 4) dx = \frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 4x = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница: $S = \left[ \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{0} = (\frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 + 4 \cdot 0) - (\frac{(-2)^3}{3} + 2(-2)^2 + 4(-2))$.

$S = 0 - (\frac{-8}{3} + 2 \cdot 4 - 8) = -(\frac{-8}{3} + 8 - 8) = -(-\frac{8}{3}) = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$

96. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 2 - x$ и $y = |x^2 - 4|$.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций $y = 2 - x$ и $y = |x^2 - 4|$, необходимо найти точки пересечения этих графиков, а затем вычислить определенный интеграл разности функций.

Приравняем функции, чтобы найти абсциссы точек пересечения: $2 - x = |x^2 - 4|$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай а): $x^2 - 4 \ge 0$, то есть $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Уравнение принимает вид $2 - x = x^2 - 4$, что эквивалентно $x^2 + x - 6 = 0$.

Находим корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -6$ и $x_1 + x_2 = -1$. Корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

Оба корня удовлетворяют условию $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$, следовательно, являются абсциссами точек пересечения.

Случай б): $x^2 - 4 < 0$, то есть $x \in (-2, 2)$.

Уравнение принимает вид $2 - x = -(x^2 - 4)$, то есть $2 - x = 4 - x^2$, что эквивалентно $x^2 - x - 2 = 0$.

Находим корни: $x_3 \cdot x_4 = -2$ и $x_3 + x_4 = 1$. Корни: $x_3 = 2$ и $x_4 = -1$.

Из этих корней только $x = -1$ удовлетворяет условию $x \in (-2, 2)$. Корень $x = 2$ не входит в интервал, но является его границей и уже был найден.

Таким образом, графики функций пересекаются в трех точках с абсциссами: $x = -3, x = -1, x = 2$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций. Пределы интегрирования определяются крайними точками пересечения: от $x = -3$ до $x = 2$.

Чтобы определить, какая функция является верхней, сравним их значения на интервалах между точками пересечения.

На отрезке $[-3, -1]$: возьмем тестовую точку $x = -2$. $y_1 = 2 - (-2) = 4$; $y_2 = |(-2)^2 - 4| = 0$. Так как $4 > 0$, на этом отрезке график $y=2-x$ лежит выше графика $y=|x^2-4|$.

На отрезке $[-1, 2]$: возьмем тестовую точку $x = 0$. $y_1 = 2 - 0 = 2$; $y_2 = |0^2 - 4| = 4$. Так как $4 > 2$, на этом отрезке график $y=|x^2-4|$ лежит выше графика $y=2-x$.

Формула для площади $S$ будет выглядеть так:

$S = \int_{-3}^{-1} ((2-x) - |x^2 - 4|) dx + \int_{-1}^{2} (|x^2 - 4| - (2-x)) dx$.

Выражение под модулем $x^2-4$ меняет знак в точках $x=-2$ и $x=2$. Точка $x=-2$ лежит внутри первого интервала интегрирования $[-3, -1]$. Поэтому необходимо разбить вычисление на три интеграла, учитывая, что $|x^2-4| = x^2-4$ при $x \le -2$ и $|x^2-4| = 4-x^2$ при $-2 < x < 2$.

$S = \int_{-3}^{-2} (2-x - (x^2-4)) dx + \int_{-2}^{-1} (2-x - (4-x^2)) dx + \int_{-1}^{2} ((4-x^2) - (2-x)) dx$

Упростим подынтегральные выражения:

$S = \int_{-3}^{-2} (-x^2 - x + 6) dx + \int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) dx + \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx$

Вычислим каждый интеграл:

1) $\int_{-3}^{-2} (-x^2 - x + 6) dx = \left[-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 6x\right]_{-3}^{-2}$

$= \left(-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 6(-2)\right) - \left(-\frac{(-3)^3}{3} - \frac{(-3)^2}{2} + 6(-3)\right)$

$= \left(\frac{8}{3} - 2 - 12\right) - \left(9 - \frac{9}{2} - 18\right) = \left(\frac{8-42}{3}\right) - \left(-9 - \frac{9}{2}\right) = -\frac{34}{3} - \left(-\frac{27}{2}\right) = \frac{-68+81}{6} = \frac{13}{6}$.

2) $\int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} - 2x\right]_{-2}^{-1}$

$= \left(\frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-1)^2}{2} - 2(-1)\right) - \left(\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} - 2(-2)\right)$

$= \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(-\frac{8}{3} - 2 + 4\right) = \left(\frac{-2-3+12}{6}\right) - \left(\frac{-8+6}{3}\right) = \frac{7}{6} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{7+4}{6} = \frac{11}{6}$.

3) $\int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right]_{-1}^{2}$

$= \left(-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2)\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1)\right)$

$= \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) = \left(\frac{-8+18}{3}\right) - \left(\frac{2+3-12}{6}\right) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{20+7}{6} = \frac{27}{6}$.

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти общую площадь:

$S = \frac{13}{6} + \frac{11}{6} + \frac{27}{6} = \frac{13+11+27}{6} = \frac{51}{6} = \frac{17}{2}$.

Ответ: $\frac{17}{2}$.

97. Найдите, при каком значении $a$ площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2$ и прямыми $y = 0$, $x = a$, $x = a + 3$, будет принимать наименьшее значение.

Площадь фигуры, ограниченной параболой $y = 3x^2$, осью абсцисс $y = 0$ и вертикальными прямыми $x = a$ и $x = a + 3$, вычисляется с помощью определенного интеграла. Так как функция $y = 3x^2$ неотрицательна при любых значениях $x$, площадь $S$ можно найти по формуле:

$S(a) = \int_{a}^{a+3} 3x^2 dx$

Вычислим этот интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $f(x) = 3x^2$ равна $F(x) = x^3$.

$S(a) = F(a+3) - F(a) = (a+3)^3 - a^3$

Раскроем скобки, используя формулу куба суммы $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$:

$S(a) = (a^3 + 3 \cdot a^2 \cdot 3 + 3 \cdot a \cdot 3^2 + 3^3) - a^3$

$S(a) = (a^3 + 9a^2 + 27a + 27) - a^3$

$S(a) = 9a^2 + 27a + 27$

Мы получили функцию площади $S(a)$, которая представляет собой квадратичную функцию от переменной $a$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $a^2$ (равный 9) положителен. Наименьшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

Координату $a$ вершины параболы $S(a) = Aa^2 + Ba + C$ можно найти по формуле $a_0 = -\frac{B}{2A}$.

В нашем случае $A=9$ и $B=27$. Подставим эти значения в формулу:

$a = -\frac{27}{2 \cdot 9} = -\frac{27}{18} = -\frac{3}{2} = -1.5$

Таким образом, площадь фигуры принимает наименьшее значение при $a = -1.5$.

Ответ: $a = -1.5$

Фигура, о которой идет речь, является криволинейной трапецией, ограниченной графиком функции $y = \frac{4}{x}$, осью абсцисс ($y=0$) и вертикальными прямыми $x=4$ и $x=9$.

Прямая $x = a$ разбивает эту фигуру на две равновеликие (равные по площади) фигуры. Это означает, что площадь фигуры под графиком от $x=4$ до $x=a$ должна быть равна половине общей площади всей фигуры от $x=4$ до $x=9$.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла. Таким образом, условие можно записать в виде уравнения:

$\int_{4}^{a} \frac{4}{x} dx = \frac{1}{2} \int_{4}^{9} \frac{4}{x} dx$

Сначала найдем первообразную для функции $y = \frac{4}{x}$:

$F(x) = \int \frac{4}{x} dx = 4 \ln|x|$. На рассматриваемом промежутке $[4, 9]$ значение $x$ положительно, поэтому $F(x) = 4 \ln(x)$.

Теперь вычислим левую и правую части уравнения, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_{c}^{d} f(x) dx = F(d) - F(c)$.

Вычислим левую часть:

$\int_{4}^{a} \frac{4}{x} dx = F(a) - F(4) = 4 \ln(a) - 4 \ln(4) = 4 (\ln(a) - \ln(4)) = 4 \ln(\frac{a}{4})$

Вычислим интеграл в правой части:

$\int_{4}^{9} \frac{4}{x} dx = F(9) - F(4) = 4 \ln(9) - 4 \ln(4) = 4 (\ln(9) - \ln(4)) = 4 \ln(\frac{9}{4})$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$4 \ln(\frac{a}{4}) = \frac{1}{2} \cdot 4 \ln(\frac{9}{4})$

Разделим обе части на 4:

$\ln(\frac{a}{4}) = \frac{1}{2} \ln(\frac{9}{4})$

Используя свойство логарифма $k \ln(b) = \ln(b^k)$, преобразуем правую часть:

$\ln(\frac{a}{4}) = \ln((\frac{9}{4})^{\frac{1}{2}})$

$\ln(\frac{a}{4}) = \ln(\sqrt{\frac{9}{4}})$

$\ln(\frac{a}{4}) = \ln(\frac{3}{2})$

Поскольку логарифмическая функция является монотонной, равенство логарифмов означает равенство их аргументов:

$\frac{a}{4} = \frac{3}{2}$

Отсюда находим $a$:

$a = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$

Найденное значение $a=6$ принадлежит интервалу $(4; 9)$, что соответствует условию задачи.

Ответ: $a=6$.

99. Вычислите интеграл:

1) $\int_{\pi/8}^{\pi/4} \text{ctg}^2 2x\,dx;$

2) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\sin^2 \frac{x}{6}\,dx;$

3) $\int_{\pi/12}^{5\pi/12} \sin 3x \sin x\,dx;$

4) $\int_{-2}^{1} (x^2 + x)^2\,dx;$

5) $\int_{2}^{3} \frac{x^2 - x + 2}{x^4}\,dx;$

6) $\int_{0}^{\ln 4} (e^{2x} + 2)^2\,dx;$

7) $\int_{0}^{2} \frac{12^x - 7 \cdot 2^x}{4^x}\,dx;$

8) $\int_{-4}^{-1} \frac{2x^2 + x - 3}{x}\,dx;$

9) $\int_{-2}^{-1} \frac{e^x - x^3}{x^3e^x}\,dx.$

1) Для вычисления интеграла $\int_{\pi/8}^{\pi/4} \ctg^2(2x) dx$ воспользуемся тригонометрическим тождеством $\ctg^2(\alpha) = \frac{1}{\sin^2(\alpha)} - 1$.
Интеграл принимает вид:
$\int_{\pi/8}^{\pi/4} \left(\frac{1}{\sin^2(2x)} - 1\right) dx$
Первообразная для подынтегральной функции равна $-\frac{1}{2}\ctg(2x) - x$, так как $\int \frac{1}{\sin^2(kx)} dx = -\frac{1}{k}\ctg(kx) + C$.
Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:
$\left[-\frac{1}{2}\ctg(2x) - x\right]_{\pi/8}^{\pi/4} = \left(-\frac{1}{2}\ctg\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2}\ctg\left(2 \cdot \frac{\pi}{8}\right) - \frac{\pi}{8}\right)$
$= \left(-\frac{1}{2}\ctg\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2}\ctg\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{\pi}{8}\right)$
$= \left(-\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\pi}{4}\right) - \left(-\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{\pi}{8}\right) = -\frac{\pi}{4} - \left(-\frac{1}{2} - \frac{\pi}{8}\right) = -\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2} + \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} - \frac{\pi}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{2} - \frac{\pi}{8}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} 2\sin^2\frac{x}{6} dx$ используем формулу понижения степени $2\sin^2(\alpha) = 1 - \cos(2\alpha)$.
В нашем случае $\alpha = \frac{x}{6}$, тогда $2\alpha = \frac{x}{3}$. Интеграл преобразуется к виду:
$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(1 - \cos\left(\frac{x}{3}\right)\right) dx$
Находим первообразную:
$\int \left(1 - \cos\left(\frac{x}{3}\right)\right) dx = x - 3\sin\left(\frac{x}{3}\right) + C$.
Вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left[x - 3\sin\left(\frac{x}{3}\right)\right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \left(\frac{\pi}{2} - 3\sin\left(\frac{\pi/2}{3}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - 3\sin\left(\frac{-\pi/2}{3}\right)\right)$
$= \left(\frac{\pi}{2} - 3\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right) - \left(-\frac{\pi}{2} - 3\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right) = \left(\frac{\pi}{2} - 3 \cdot \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + 3 \cdot \frac{1}{2}\right)$
$= \left(\frac{\pi}{2} - \frac{3}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{2} + \frac{3}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} + \frac{\pi}{2} - \frac{3}{2} = \pi - 3$.
Ответ: $\pi - 3$.

3) Для вычисления интеграла $\int_{\pi/12}^{5\pi/12} \sin(3x)\sin(x) dx$ применим формулу преобразования произведения синусов в разность косинусов: $\sin(\alpha)\sin(\beta) = \frac{1}{2}(\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta))$.
$\sin(3x)\sin(x) = \frac{1}{2}(\cos(3x-x) - \cos(3x+x)) = \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x))$.
Интеграл принимает вид:
$\int_{\pi/12}^{5\pi/12} \frac{1}{2}(\cos(2x) - \cos(4x)) dx = \frac{1}{2} \left[\frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{4}\sin(4x)\right]_{\pi/12}^{5\pi/12}$
Подставляем верхний предел $x = \frac{5\pi}{12}$:
$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin\left(\frac{10\pi}{12}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{20\pi}{12}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{5\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{8}\right) = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{16}$.
Подставляем нижний предел $x = \frac{\pi}{12}$:
$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin\left(\frac{2\pi}{12}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{4\pi}{12}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) - \frac{1}{4}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4} - \frac{\sqrt{3}}{8}\right) = \frac{1}{8} - \frac{\sqrt{3}}{16}$.
Вычитаем из значения на верхнем пределе значение на нижнем:
$\left(\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{16}\right) - \left(\frac{1}{8} - \frac{\sqrt{3}}{16}\right) = \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{16} - \frac{1}{8} + \frac{\sqrt{3}}{16} = \frac{2\sqrt{3}}{16} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{8}$.

4) Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{1} (x^2 + x)^2 dx$ сначала раскроем скобки в подынтегральном выражении:
$(x^2 + x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot x + x^2 = x^4 + 2x^3 + x^2$.
Теперь интегрируем полученный многочлен:
$\int_{-2}^{1} (x^4 + 2x^3 + x^2) dx = \left[\frac{x^5}{5} + 2\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1} = \left[\frac{x^5}{5} + \frac{x^4}{2} + \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{1}$.
Применяем формулу Ньютона-Лейбница:
$\left(\frac{1^5}{5} + \frac{1^4}{2} + \frac{1^3}{3}\right) - \left(\frac{(-2)^5}{5} + \frac{(-2)^4}{2} + \frac{(-2)^3}{3}\right) = \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{-32}{5} + \frac{16}{2} - \frac{8}{3}\right)$
$= \left(\frac{6+15+10}{30}\right) - \left(-\frac{32}{5} + 8 - \frac{8}{3}\right) = \frac{31}{30} - \left(\frac{-96+120-40}{15}\right) = \frac{31}{30} - \left(\frac{-16}{15}\right)$
$= \frac{31}{30} + \frac{16}{15} = \frac{31}{30} + \frac{32}{30} = \frac{63}{30} = \frac{21}{10}$.
Ответ: $\frac{21}{10}$.

5) Для вычисления интеграла $\int_{2}^{3} \frac{x^2 - x + 2}{x^4} dx$ разделим числитель на знаменатель почленно:
$\frac{x^2 - x + 2}{x^4} = \frac{x^2}{x^4} - \frac{x}{x^4} + \frac{2}{x^4} = x^{-2} - x^{-3} + 2x^{-4}$.
Интегрируем полученное выражение:
$\int_{2}^{3} (x^{-2} - x^{-3} + 2x^{-4}) dx = \left[\frac{x^{-1}}{-1} - \frac{x^{-2}}{-2} + 2\frac{x^{-3}}{-3}\right]_{2}^{3} = \left[-\frac{1}{x} + \frac{1}{2x^2} - \frac{2}{3x^3}\right]_{2}^{3}$.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2 \cdot 3^2} - \frac{2}{3 \cdot 3^3}\right) - \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2^2} - \frac{2}{3 \cdot 2^3}\right) = \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{18} - \frac{2}{81}\right) - \left(-\frac{1}{2} + \frac{1}{8} - \frac{2}{24}\right)$
$= \left(\frac{-54+9-4}{162}\right) - \left(\frac{-12+3-2}{24}\right) = -\frac{49}{162} - \left(-\frac{11}{24}\right) = -\frac{49}{162} + \frac{11}{24}$
Приводим к общему знаменателю 648:
$= -\frac{49 \cdot 4}{648} + \frac{11 \cdot 27}{648} = \frac{-196 + 297}{648} = \frac{101}{648}$.
Ответ: $\frac{101}{648}$.

6) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{\ln 4} (e^{2x} + 2)^2 dx$ раскроем квадрат суммы:
$(e^{2x} + 2)^2 = (e^{2x})^2 + 2 \cdot e^{2x} \cdot 2 + 2^2 = e^{4x} + 4e^{2x} + 4$.
Интегрируем полученное выражение:
$\int_{0}^{\ln 4} (e^{4x} + 4e^{2x} + 4) dx = \left[\frac{1}{4}e^{4x} + 4\frac{1}{2}e^{2x} + 4x\right]_{0}^{\ln 4} = \left[\frac{1}{4}e^{4x} + 2e^{2x} + 4x\right]_{0}^{\ln 4}$.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left(\frac{1}{4}e^{4\ln 4} + 2e^{2\ln 4} + 4\ln 4\right) - \left(\frac{1}{4}e^{0} + 2e^{0} + 4 \cdot 0\right)$
Используя свойство $a\ln b = \ln b^a$ и $e^{\ln c} = c$: $e^{4\ln 4} = e^{\ln 4^4} = 256$, $e^{2\ln 4} = e^{\ln 4^2} = 16$.
$= \left(\frac{1}{4} \cdot 256 + 2 \cdot 16 + 4\ln 4\right) - \left(\frac{1}{4} + 2\right) = (64 + 32 + 4\ln 4) - \frac{9}{4} = 96 + 4\ln 4 - \frac{9}{4}$
$= \frac{384-9}{4} + 4\ln 4 = \frac{375}{4} + 4\ln 4$.
Ответ: $\frac{375}{4} + 4\ln 4$.

7) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{2} \frac{12^x - 7 \cdot 2^x}{4^x} dx$ упростим подынтегральное выражение:
$\frac{12^x - 7 \cdot 2^x}{4^x} = \frac{(3 \cdot 4)^x - 7 \cdot 2^x}{4^x} = \frac{3^x \cdot 4^x}{4^x} - \frac{7 \cdot 2^x}{4^x} = 3^x - 7\left(\frac{2}{4}\right)^x = 3^x - 7\left(\frac{1}{2}\right)^x$.
Интегрируем, используя формулу $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a}$:
$\int_{0}^{2} \left(3^x - 7\left(\frac{1}{2}\right)^x\right) dx = \left[\frac{3^x}{\ln 3} - 7\frac{(1/2)^x}{\ln(1/2)}\right]_{0}^{2} = \left[\frac{3^x}{\ln 3} + \frac{7 \cdot (1/2)^x}{\ln 2}\right]_{0}^{2}$.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left(\frac{3^2}{\ln 3} + \frac{7 \cdot (1/2)^2}{\ln 2}\right) - \left(\frac{3^0}{\ln 3} + \frac{7 \cdot (1/2)^0}{\ln 2}\right) = \left(\frac{9}{\ln 3} + \frac{7/4}{\ln 2}\right) - \left(\frac{1}{\ln 3} + \frac{7}{\ln 2}\right)$
$= \left(\frac{9}{\ln 3} - \frac{1}{\ln 3}\right) + \left(\frac{7}{4\ln 2} - \frac{7}{\ln 2}\right) = \frac{8}{\ln 3} + \left(\frac{7}{4\ln 2} - \frac{28}{4\ln 2}\right) = \frac{8}{\ln 3} - \frac{21}{4\ln 2}$.
Ответ: $\frac{8}{\ln 3} - \frac{21}{4\ln 2}$.

8) Для вычисления интеграла $\int_{-4}^{-1} \frac{2x^2 + x - 3}{x} dx$ разделим числитель на знаменатель почленно:
$\frac{2x^2 + x - 3}{x} = \frac{2x^2}{x} + \frac{x}{x} - \frac{3}{x} = 2x + 1 - \frac{3}{x}$.
Интегрируем полученное выражение:
$\int_{-4}^{-1} \left(2x + 1 - \frac{3}{x}\right) dx = \left[2\frac{x^2}{2} + x - 3\ln|x|\right]_{-4}^{-1} = \left[x^2 + x - 3\ln|x|\right]_{-4}^{-1}$.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left((-1)^2 + (-1) - 3\ln|-1|\right) - \left((-4)^2 + (-4) - 3\ln|-4|\right)$
$= (1 - 1 - 3\ln(1)) - (16 - 4 - 3\ln(4)) = (0 - 0) - (12 - 3\ln 4) = -12 + 3\ln 4$.
Ответ: $3\ln 4 - 12$.

9) Для вычисления интеграла $\int_{-2}^{-1} \frac{e^x - x^3}{x^3e^x} dx$ упростим подынтегральное выражение:
$\frac{e^x - x^3}{x^3e^x} = \frac{e^x}{x^3e^x} - \frac{x^3}{x^3e^x} = \frac{1}{x^3} - \frac{1}{e^x} = x^{-3} - e^{-x}$.
Интегрируем полученное выражение:
$\int_{-2}^{-1} (x^{-3} - e^{-x}) dx = \left[\frac{x^{-2}}{-2} - (-e^{-x})\right]_{-2}^{-1} = \left[-\frac{1}{2x^2} + e^{-x}\right]_{-2}^{-1}$.
Вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:
$\left(-\frac{1}{2(-1)^2} + e^{-(-1)}\right) - \left(-\frac{1}{2(-2)^2} + e^{-(-2)}\right) = \left(-\frac{1}{2} + e^1\right) - \left(-\frac{1}{2 \cdot 4} + e^2\right)$
$= \left(e - \frac{1}{2}\right) - \left(e^2 - \frac{1}{8}\right) = e - \frac{1}{2} - e^2 + \frac{1}{8} = e - e^2 - \frac{4}{8} + \frac{1}{8} = e - e^2 - \frac{3}{8}$.
Ответ: $e - e^2 - \frac{3}{8}$.