Страница 53 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

91. Сравните площади криволинейных трапеций, заштрихованных на рисунке 6.

Рис. 6

$y = \frac{8}{x}$

Для того чтобы сравнить площади заштрихованных криволинейных трапеций, необходимо вычислить площадь каждой из них. Обе фигуры ограничены графиком функции $y = \frac{8}{x}$, осью абсцисс и соответствующими вертикальными прямыми. Площадь криволинейной трапеции вычисляется с помощью определенного интеграла.

1. Вычисление площади левой криволинейной трапеции.

Эта трапеция ограничена линиями $y = \frac{8}{x}$, $y = 0$, $x = \frac{1}{2}$ и $x = 1$. Обозначим её площадь как $S_1$.

$S_1 = \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{8}{x} \,dx$

Для вычисления интеграла найдем первообразную функции $f(x) = \frac{8}{x}$. Первообразная равна $F(x) = 8\ln|x|$. Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S_1 = [8\ln|x|]_{\frac{1}{2}}^{1} = 8\ln(1) - 8\ln(\frac{1}{2})$

Зная, что $\ln(1) = 0$ и $\ln(\frac{1}{2}) = \ln(2^{-1}) = -\ln(2)$, получаем:

$S_1 = 8 \cdot 0 - 8(-\ln(2)) = 8\ln(2)$

2. Вычисление площади правой криволинейной трапеции.

Эта трапеция ограничена линиями $y = \frac{8}{x}$, $y = 0$, $x = 4$ и $x = 8$. Обозначим её площадь как $S_2$.

$S_2 = \int_{4}^{8} \frac{8}{x} \,dx$

Используя ту же первообразную, вычислим интеграл:

$S_2 = [8\ln|x|]_{4}^{8} = 8\ln(8) - 8\ln(4)$

Применим свойство логарифмов $\ln(a) - \ln(b) = \ln(\frac{a}{b})$:

$S_2 = 8(\ln(8) - \ln(4)) = 8\ln(\frac{8}{4}) = 8\ln(2)$

3. Сравнение площадей.

Сравнивая полученные значения, видим, что $S_1 = 8\ln(2)$ и $S_2 = 8\ln(2)$. Следовательно, $S_1 = S_2$.

Ответ: Площади заштрихованных криволинейных трапеций равны.

92. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, изображённой на рисунке 7.

Рис. 7

$y = 6x + 14$

$y = \frac{8}{x^2}$

$y = \frac{3}{x^2}$

$y = \frac{1}{9}x$

$y = x + 2$

$y = x^3 - 3x + 2$

$y = 1 - \cos x$

$y = \cos x$

а
Площадь заштрихованной фигуры $S$ вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций на заданном отрезке. Верхняя функция: $f(x) = 6x + 14$. Нижняя функция: $g(x) = \frac{8}{x^2}$. Пределы интегрирования: от $x = -2$ до $x = -1$.
Формула для вычисления площади: $S = \int_{-2}^{-1} \left( (6x + 14) - \frac{8}{x^2} \right) dx$
Найдем первообразную для подынтегральной функции $6x + 14 - 8x^{-2}$: $F(x) = 6\frac{x^2}{2} + 14x - 8\frac{x^{-1}}{-1} = 3x^2 + 14x + \frac{8}{x}$
Теперь вычислим значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница $S = F(-1) - F(-2)$: $F(-1) = 3(-1)^2 + 14(-1) + \frac{8}{-1} = 3 - 14 - 8 = -19$
$F(-2) = 3(-2)^2 + 14(-2) + \frac{8}{-2} = 3(4) - 28 - 4 = 12 - 28 - 4 = -20$
$S = F(-1) - F(-2) = -19 - (-20) = 1$
Ответ: 1

б
Фигура ограничена сверху графиком функции $y = \frac{3}{x^2}$ и снизу графиком функции $y = \frac{1}{9}x$ на отрезке от $x = 1$ до $x = 3$.
Площадь $S$ равна: $S = \int_{1}^{3} \left( \frac{3}{x^2} - \frac{1}{9}x \right) dx = \int_{1}^{3} \left( 3x^{-2} - \frac{1}{9}x \right) dx$
Найдем первообразную: $F(x) = 3\frac{x^{-1}}{-1} - \frac{1}{9}\frac{x^2}{2} = -\frac{3}{x} - \frac{x^2}{18}$
Вычислим интеграл: $S = F(3) - F(1) = \left(-\frac{3}{3} - \frac{3^2}{18}\right) - \left(-\frac{3}{1} - \frac{1^2}{18}\right)$
$S = \left(-1 - \frac{9}{18}\right) - \left(-3 - \frac{1}{18}\right) = \left(-1 - \frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{54}{18} - \frac{1}{18}\right)$
$S = -\frac{3}{2} - \left(-\frac{55}{18}\right) = -\frac{27}{18} + \frac{55}{18} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}$
Ответ: $\frac{14}{9}$

в
Фигура ограничена сверху графиком функции $y = x + 2$ и снизу графиком функции $y = x^3 - 3x + 2$ на отрезке от $x = 0$ до $x = 2$.
Найдем площадь $S$ как интеграл разности функций: $S = \int_{0}^{2} \left( (x + 2) - (x^3 - 3x + 2) \right) dx$
Упростим подынтегральное выражение: $(x + 2) - (x^3 - 3x + 2) = x + 2 - x^3 + 3x - 2 = -x^3 + 4x$
Вычислим интеграл: $S = \int_{0}^{2} (-x^3 + 4x) dx$
Первообразная: $F(x) = -\frac{x^4}{4} + 4\frac{x^2}{2} = -\frac{x^4}{4} + 2x^2$
$S = F(2) - F(0) = \left(-\frac{2^4}{4} + 2(2^2)\right) - \left(-\frac{0^4}{4} + 2(0^2)\right)$
$S = \left(-\frac{16}{4} + 2(4)\right) - 0 = -4 + 8 = 4$
Ответ: 4

г
Фигура ограничена сверху графиком функции $y = 1 - \cos x$ и снизу графиком функции $y = \cos x$. Пределы интегрирования определяются точками пересечения графиков. Из рисунка видно, что пределы интегрирования от $x = -\frac{\pi}{3}$ до $x = \frac{\pi}{3}$.
Проверим точки пересечения: $1 - \cos x = \cos x \Rightarrow 2\cos x = 1 \Rightarrow \cos x = \frac{1}{2}$, что соответствует $x = \pm \frac{\pi}{3}$.
Площадь $S$ равна: $S = \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \left( (1 - \cos x) - \cos x \right) dx = \int_{-\pi/3}^{\pi/3} (1 - 2\cos x) dx$
Найдем первообразную: $F(x) = x - 2\sin x$
Вычислим интеграл: $S = F(\frac{\pi}{3}) - F(-\frac{\pi}{3}) = \left(\frac{\pi}{3} - 2\sin\frac{\pi}{3}\right) - \left(-\frac{\pi}{3} - 2\sin(-\frac{\pi}{3})\right)$
Так как $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$: $S = \left(\frac{\pi}{3} - 2\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(-\frac{\pi}{3} - 2(-\frac{\sqrt{3}}{2})\right) = \left(\frac{\pi}{3} - \sqrt{3}\right) - \left(-\frac{\pi}{3} + \sqrt{3}\right)$
$S = \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} + \frac{\pi}{3} - \sqrt{3} = \frac{2\pi}{3} - 2\sqrt{3}$
Ответ: $\frac{2\pi}{3} - 2\sqrt{3}$