Страница 60 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. На прямой отметили 23 точки, а на параллельной ей прямой — 11 точек. Сколько существует четырёх-угольников с вершинами в отмеченных точках?

Для построения четырёхугольника необходимо выбрать четыре вершины так, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой. В условиях задачи все точки расположены на двух параллельных прямых. Пусть на первой прямой $l_1$ находится 23 точки, а на второй прямой $l_2$ — 11 точек.

Чтобы никакие три вершины не были коллинеарными, необходимо выбрать две вершины на прямой $l_1$ и две вершины на прямой $l_2$. Если выбрать три точки на одной прямой и одну на другой, получится треугольник. Если выбрать все четыре точки на одной прямой, они не образуют четырёхугольник.

Таким образом, задача сводится к вычислению количества способов выбрать 2 точки из 23 на первой прямой и 2 точки из 11 на второй прямой, а затем перемножить эти результаты.

1. Найдём число способов выбрать 2 точки из 23 на прямой $l_1$. Это вычисляется с помощью формулы сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{23}^{2} = \frac{23!}{2!(23-2)!} = \frac{23!}{2! \cdot 21!} = \frac{23 \cdot 22}{2 \cdot 1} = 23 \cdot 11 = 253$ способа.

2. Найдём число способов выбрать 2 точки из 11 на прямой $l_2$:

$C_{11}^{2} = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2! \cdot 9!} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 11 \cdot 5 = 55$ способов.

3. Общее количество четырёхугольников равно произведению числа способов выбора точек на каждой прямой (по правилу произведения в комбинаторике):

$N = C_{23}^{2} \cdot C_{11}^{2} = 253 \cdot 55 = 13915$.

Ответ: 13915

128. На прямой отметили 23 точки, а на параллельной ей прямой — 11 точек. Сколько существует треугольников с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы три точки образовывали треугольник, они не должны лежать на одной прямой. В условии задачи даны две параллельные прямые. На первой прямой отмечено 23 точки, на второй — 11 точек. Все точки, лежащие на одной прямой, являются коллинеарными, поэтому выбрать три вершины треугольника с одной прямой невозможно.

Следовательно, существует два возможных случая для образования треугольника:

1. Две вершины выбираются на первой прямой (из 23 точек), а одна вершина — на второй прямой (из 11 точек).

2. Одна вершина выбирается на первой прямой (из 23 точек), а две вершины — на второй прямой (из 11 точек).

Рассчитаем количество способов для каждого случая, используя формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Случай 1: Выбираем 2 точки из 23 и 1 точку из 11.
Число способов выбрать 2 точки из 23: $C_{23}^2 = \frac{23!}{2!(23-2)!} = \frac{23 \times 22}{2 \times 1} = 23 \times 11 = 253$.
Число способов выбрать 1 точку из 11: $C_{11}^1 = \frac{11!}{1!(11-1)!} = 11$.
Общее число треугольников в этом случае равно произведению этих сочетаний: $N_1 = C_{23}^2 \times C_{11}^1 = 253 \times 11 = 2783$.

Случай 2: Выбираем 1 точку из 23 и 2 точки из 11.
Число способов выбрать 1 точку из 23: $C_{23}^1 = \frac{23!}{1!(23-1)!} = 23$.
Число способов выбрать 2 точки из 11: $C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$.
Общее число треугольников в этом случае: $N_2 = C_{23}^1 \times C_{11}^2 = 23 \times 55 = 1265$.

Общее количество возможных треугольников равно сумме треугольников из первого и второго случаев:
$N = N_1 + N_2 = 2783 + 1265 = 4048$.

Ответ: 4048

129. Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 33 шесть чисел так, чтобы среди выбранных было ровно два нечётных числа?

Задача заключается в том, чтобы найти количество способов выбрать 6 чисел из 33, где ровно 2 числа будут нечетными. Это означает, что остальные 4 числа должны быть четными. Решение можно разбить на несколько этапов.

1. Определение количества четных и нечетных чисел
В наборе натуральных чисел от 1 до 33 содержится 33 числа. Количество нечетных чисел (1, 3, 5, ..., 33) составляет 17. Количество четных чисел (2, 4, 6, ..., 32) составляет $33 - 17 = 16$.

2. Расчет количества способов выбора нечетных чисел
Согласно условию, необходимо выбрать ровно 2 нечетных числа из 17 доступных. Поскольку порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Число способов выбрать 2 нечетных числа из 17 равно: $C_{17}^2 = \frac{17!}{2!(17-2)!} = \frac{17!}{2!15!} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 136$.

3. Расчет количества способов выбора четных чисел
Так как всего нужно выбрать 6 чисел, а 2 из них нечетные, то остальные $6 - 2 = 4$ числа должны быть четными. Эти 4 четных числа нужно выбрать из 16 доступных.
Число способов выбрать 4 четных числа из 16 равно: $C_{16}^4 = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4!12!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1820$.

4. Нахождение общего количества способов
Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить количество способов выбора нечетных чисел и количество способов выбора четных чисел (согласно правилу произведения в комбинаторике).
Общее число способов = $C_{17}^2 \times C_{16}^4 = 136 \times 1820 = 247520$.

Ответ: 247520

130. Из 15 человек формируют три группы по 5 человек для поездки в Лондон, Париж и Мадрид. Сколько существует способов это сделать?

Для решения этой задачи мы будем использовать комбинаторику. Поскольку группы отправляются в разные города (Лондон, Париж, Мадрид), они являются различимыми. Это означает, что порядок выбора групп важен. Решим задачу поэтапно.

Шаг 1: Формирование группы для поездки в Лондон

Сначала нужно выбрать 5 человек из 15 для поездки в Лондон. Порядок выбора людей внутри группы не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Количество способов выбрать первую группу:

$C_{15}^5 = \frac{15!}{5!(15-5)!} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 3003$ способа.

Шаг 2: Формирование группы для поездки в Париж

После того как первая группа сформирована, осталось $15 - 5 = 10$ человек. Из них нужно выбрать 5 человек для поездки в Париж.

Количество способов выбрать вторую группу:

$C_{10}^5 = \frac{10!}{5!(10-5)!} = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 252$ способа.

Шаг 3: Формирование группы для поездки в Мадрид

Осталось $10 - 5 = 5$ человек. Все они отправятся в Мадрид. Таким образом, есть только один способ сформировать третью группу.

Количество способов выбрать третью группу:

$C_5^5 = \frac{5!}{5!(5-5)!} = \frac{5!}{5!0!} = 1$ способ.

Шаг 4: Общее количество способов

Чтобы найти общее количество способов сформировать все три группы, нужно перемножить количество способов для каждого шага, согласно правилу произведения в комбинаторике.

Общее число способов = (способы для Лондона) × (способы для Парижа) × (способы для Мадрида).

$N = C_{15}^5 \cdot C_{10}^5 \cdot C_5^5 = 3003 \cdot 252 \cdot 1 = 756756$.

Это также можно рассчитать с помощью мультиномиального коэффициента, так как мы разбиваем множество из 15 элементов на 3 упорядоченные группы по 5 элементов в каждой:

$\binom{15}{5,5,5} = \frac{15!}{5!5!5!} = \frac{1307674368000}{120 \cdot 120 \cdot 120} = \frac{1307674368000}{1728000} = 756756$.

Ответ: Существует 756756 способов сформировать три группы.

131. Сколько существует способов выбрать из натуральных чисел от 1 до 33 шесть чисел так, чтобы среди выбранных было не менее двух нечётных чисел?

Для решения задачи сначала определим, сколько чётных и нечётных чисел находится в диапазоне натуральных чисел от 1 до 33.

• Нечётные числа: 1, 3, 5, ..., 33. Их количество можно найти по формуле для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + d(n-1)$, где $a_n = 33$, $a_1 = 1$, $d=2$. Отсюда $33 = 1 + 2(n-1)$, $32 = 2(n-1)$, $16 = n-1$, $n = 17$. Итак, всего 17 нечётных чисел.
• Чётные числа: 2, 4, 6, ..., 32. Их количество равно $33 - 17 = 16$.

Задача состоит в том, чтобы найти количество способов выбрать 6 чисел из 33 так, чтобы среди них было не менее двух нечётных. Эту задачу удобнее решать методом от противного (через дополнение). Мы найдём общее количество способов выбрать 6 чисел из 33, а затем вычтем из него количество "неблагоприятных" способов, то есть тех, где выбрано менее двух нечётных чисел (0 или 1 нечётное число).

1. Общее количество способов выбрать 6 чисел из 33.

Поскольку порядок выбора чисел не важен, используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число способов равно $C_{33}^6$:

$C_{33}^6 = \frac{33!}{6!(33-6)!} = \frac{33 \times 32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1\ 107\ 568$

2. Количество "неблагоприятных" способов.

Неблагоприятными являются два случая:

а) Выбрано 0 нечётных и 6 чётных чисел.

Это означает, что все 6 чисел выбираются из 16 имеющихся чётных чисел. Количество таких способов:

$C_{16}^6 = \frac{16!}{6!(16-6)!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 8008$

б) Выбрано 1 нечётное и 5 чётных чисел.

Нужно выбрать 1 число из 17 нечётных ($C_{17}^1$) и 5 чисел из 16 чётных ($C_{16}^5$). По правилу произведения в комбинаторике, общее количество способов для этого случая равно:

$C_{17}^1 \times C_{16}^5 = 17 \times \frac{16!}{5!(16-5)!} = 17 \times \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 17 \times 4368 = 74\ 256$

Суммарное количество неблагоприятных способов равно сумме способов в случаях а) и б):

$8008 + 74\ 256 = 82\ 264$

3. Искомое количество способов.

Чтобы найти количество способов, удовлетворяющих исходному условию (не менее двух нечётных), вычтем количество неблагоприятных способов из общего числа способов:

$1\ 107\ 568 - 82\ 264 = 1\ 025\ 304$

Ответ: $1\ 025\ 304$

132. Прямые $a$, $b$ и $c$ параллельны, но не лежат в одной плоскости. На указанных прямых отметили соответственно 8, 10 и 11 точек. Сколько существует тетраэдров с вершинами в отмеченных точках?

Для того чтобы построить тетраэдр, необходимо выбрать четыре вершины, которые не лежат в одной плоскости. В условии задачи даны три параллельные прямые $a$, $b$ и $c$, которые не лежат в одной плоскости. На прямой $a$ отмечено 8 точек, на прямой $b$ — 10 точек, и на прямой $c$ — 11 точек.

Рассмотрим, какие комбинации из четырех точек будут лежать в одной плоскости (т.е. будут копланарными) и, следовательно, не смогут образовать тетраэдр:

• Если все четыре точки выбраны с одной прямой, они коллинеарны, а значит и копланарны.
• Если точки выбраны только с двух прямых (например, с $a$ и $b$), они все будут лежать в плоскости, определяемой этими двумя параллельными прямыми, и тоже будут копланарны. Это относится к случаям, когда 3 точки взяты с одной прямой и 1 с другой, или когда 2 точки взяты с одной прямой и 2 с другой.

Единственный способ выбрать четыре не копланарные точки — это взять их со всех трех прямых. Поскольку всего нужно выбрать 4 точки, это означает, что с одной прямой нужно взять 2 точки, а с двух других — по одной. Например, если взять две точки с прямой $a$, одну с прямой $b$ и одну с прямой $c$, то эти точки не будут лежать в одной плоскости. Плоскость, проходящая через прямую $a$ и точку на прямой $b$, это та же плоскость, что содержит прямые $a$ и $b$. Точка на прямой $c$ не лежит в этой плоскости, так как по условию все три прямые не копланарны.

Таким образом, общее количество тетраэдров — это сумма способов выбрать 2 точки с одной прямой и по 1 точке с двух других. Рассмотрим все три возможных случая:

1. Две точки выбраны с прямой $a$ (из 8), по одной — с прямых $b$ (из 10) и $c$ (из 11). Число способов для этого случая вычисляется как произведение числа сочетаний: $C_8^2 \cdot C_{10}^1 \cdot C_{11}^1 = \frac{8!}{2!(8-2)!} \cdot 10 \cdot 11 = \frac{8 \cdot 7}{2} \cdot 10 \cdot 11 = 28 \cdot 110 = 3080$.

2. Две точки выбраны с прямой $b$ (из 10), по одной — с прямых $a$ (из 8) и $c$ (из 11). Число способов: $C_{10}^2 \cdot C_8^1 \cdot C_{11}^1 = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot 8 \cdot 11 = 45 \cdot 8 \cdot 11 = 3960$.

3. Две точки выбраны с прямой $c$ (из 11), по одной — с прямых $a$ (из 8) и $b$ (из 10). Число способов: $C_{11}^2 \cdot C_8^1 \cdot C_{10}^1 = \frac{11 \cdot 10}{2} \cdot 8 \cdot 10 = 55 \cdot 8 \cdot 10 = 4400$.

Чтобы найти общее количество тетраэдров, нужно сложить количество способов для каждого из этих трех взаимоисключающих случаев: $3080 + 3960 + 4400 = 11440$.

Ответ: 11440.

133. Раскройте скобки в выражении:

1) $(a-b)^5;$

2) $(1-2y)^6;$

3) $(b^2+1)^4;$

4) $\left(\frac{1}{y}-1\right)^7.$

Для раскрытия скобок в выражениях вида $(x+y)^n$ используется формула бинома Ньютона:
$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k = C_n^0 x^n y^0 + C_n^1 x^{n-1} y^1 + \dots + C_n^n x^0 y^n$,
где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Эти коэффициенты удобно находить с помощью треугольника Паскаля.

1) Для раскрытия скобок в выражении $(a - b)^5$ воспользуемся формулой бинома Ньютона для $n=5$. Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны 1, 5, 10, 10, 5, 1. Так как второй член в скобках отрицательный ($-b$), знаки в разложении будут чередоваться.
$(a - b)^5 = C_5^0 a^5 (-b)^0 + C_5^1 a^4 (-b)^1 + C_5^2 a^3 (-b)^2 + C_5^3 a^2 (-b)^3 + C_5^4 a^1 (-b)^4 + C_5^5 a^0 (-b)^5$
$= 1 \cdot a^5 \cdot 1 + 5 \cdot a^4 \cdot (-b) + 10 \cdot a^3 \cdot b^2 + 10 \cdot a^2 \cdot (-b^3) + 5 \cdot a \cdot b^4 + 1 \cdot 1 \cdot (-b^5)$
$= a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$
Ответ: $a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$

2) Для раскрытия скобок в выражении $(1 - 2y)^6$ применим формулу бинома Ньютона для $n=6$. Биномиальные коэффициенты для $n=6$ равны 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Первый член в скобках — 1, второй — $(-2y)$.
$(1 - 2y)^6 = C_6^0 1^6 (-2y)^0 + C_6^1 1^5 (-2y)^1 + C_6^2 1^4 (-2y)^2 + C_6^3 1^3 (-2y)^3 + C_6^4 1^2 (-2y)^4 + C_6^5 1^1 (-2y)^5 + C_6^6 1^0 (-2y)^6$
$= 1 \cdot 1 \cdot 1 + 6 \cdot 1 \cdot (-2y) + 15 \cdot 1 \cdot (4y^2) + 20 \cdot 1 \cdot (-8y^3) + 15 \cdot 1 \cdot (16y^4) + 6 \cdot 1 \cdot (-32y^5) + 1 \cdot 1 \cdot (64y^6)$
$= 1 - 12y + 60y^2 - 160y^3 + 240y^4 - 192y^5 + 64y^6$
Ответ: $1 - 12y + 60y^2 - 160y^3 + 240y^4 - 192y^5 + 64y^6$

3) Для раскрытия скобок в выражении $(b^2 + 1)^4$ используем формулу бинома Ньютона для $n=4$. Коэффициенты для $n=4$: 1, 4, 6, 4, 1. Члены в скобках: $b^2$ и 1.
$(b^2 + 1)^4 = C_4^0 (b^2)^4 (1)^0 + C_4^1 (b^2)^3 (1)^1 + C_4^2 (b^2)^2 (1)^2 + C_4^3 (b^2)^1 (1)^3 + C_4^4 (b^2)^0 (1)^4$
$= 1 \cdot (b^2)^4 + 4 \cdot (b^2)^3 + 6 \cdot (b^2)^2 + 4 \cdot b^2 + 1 \cdot 1$
$= b^8 + 4b^6 + 6b^4 + 4b^2 + 1$
Ответ: $b^8 + 4b^6 + 6b^4 + 4b^2 + 1$

4) Для раскрытия скобок в выражении $(\frac{1}{y} - 1)^7$ применим формулу бинома Ньютона для $n=7$. Коэффициенты для $n=7$: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1. Члены в скобках: $\frac{1}{y}$ и $-1$.
$(\frac{1}{y} - 1)^7 = C_7^0 (\frac{1}{y})^7 (-1)^0 + C_7^1 (\frac{1}{y})^6 (-1)^1 + C_7^2 (\frac{1}{y})^5 (-1)^2 + C_7^3 (\frac{1}{y})^4 (-1)^3 + C_7^4 (\frac{1}{y})^3 (-1)^4 + C_7^5 (\frac{1}{y})^2 (-1)^5 + C_7^6 (\frac{1}{y})^1 (-1)^6 + C_7^7 (\frac{1}{y})^0 (-1)^7$
$= 1 \cdot \frac{1}{y^7} \cdot 1 + 7 \cdot \frac{1}{y^6} \cdot (-1) + 21 \cdot \frac{1}{y^5} \cdot 1 + 35 \cdot \frac{1}{y^4} \cdot (-1) + 35 \cdot \frac{1}{y^3} \cdot 1 + 21 \cdot \frac{1}{y^2} \cdot (-1) + 7 \cdot \frac{1}{y} \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)$
$= \frac{1}{y^7} - \frac{7}{y^6} + \frac{21}{y^5} - \frac{35}{y^4} + \frac{35}{y^3} - \frac{21}{y^2} + \frac{7}{y} - 1$
Ответ: $\frac{1}{y^7} - \frac{7}{y^6} + \frac{21}{y^5} - \frac{35}{y^4} + \frac{35}{y^3} - \frac{21}{y^2} + \frac{7}{y} - 1$

134. Вычислите сумму $2^n + C_n^1 2^{n-1} + C_n^2 2^{n-2} + ... + C_n^{n-1} 2 + 1.$

Для вычисления данной суммы воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n b^0 + C_n^1 a^{n-1} b^1 + C_n^2 a^{n-2} b^2 + \dots + C_n^{n-1} a^1 b^{n-1} + C_n^n a^0 b^n$.

Заданная в условии сумма:

$S = 2^n + C_n^1 2^{n-1} + C_n^2 2^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} 2 + 1$.

Перепишем первый и последний члены этой суммы, используя биномиальные коэффициенты. Известно, что $C_n^0 = 1$ и $C_n^n = 1$. Тогда:

$S = C_n^0 \cdot 2^n + C_n^1 \cdot 2^{n-1} + C_n^2 \cdot 2^{n-2} + \dots + C_n^{n-1} \cdot 2^1 + C_n^n \cdot 1$.

Заметим, что число $1$ можно представить как $1$ в любой степени, так как $1^k = 1$ для любого $k$. Также $2^0=1$. Представим сумму в следующем виде, чтобы она соответствовала формуле бинома:

$S = C_n^0 \cdot 2^n \cdot 1^0 + C_n^1 \cdot 2^{n-1} \cdot 1^1 + C_n^2 \cdot 2^{n-2} \cdot 1^2 + \dots + C_n^{n-1} \cdot 2^1 \cdot 1^{n-1} + C_n^n \cdot 2^0 \cdot 1^n$.

Полученное выражение в точности соответствует разложению бинома Ньютона для $(a+b)^n$ при $a=2$ и $b=1$.

Следовательно, искомая сумма равна:

$S = (2+1)^n = 3^n$.

Ответ: $3^n$.

135. В выражении $(x + y)^n$ раскрыли скобки, используя формулу бинома Ньютона. Оказалось, что сумма коэффициентов полученного многочлена равна 512. Найдите значение $n$.

Согласно формуле бинома Ньютона, выражение $(x + y)^n$ раскладывается в многочлен:

$(x + y)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^{n-k} y^k = C_n^0 x^n y^0 + C_n^1 x^{n-1} y^1 + \dots + C_n^n x^0 y^n$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ являются биномиальными коэффициентами.

Чтобы найти сумму всех коэффициентов этого многочлена ($C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n$), достаточно подставить в исходное тождество значения $x=1$ и $y=1$.

При $x=1$ и $y=1$ левая часть тождества примет вид:

$(1 + 1)^n = 2^n$

Правая часть тождества при $x=1$ и $y=1$ будет равна сумме коэффициентов:

$C_n^0 \cdot 1^{n} \cdot 1^{0} + C_n^1 \cdot 1^{n-1} \cdot 1^{1} + \dots + C_n^n \cdot 1^{0} \cdot 1^{n} = C_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n$

Приравнивая левую и правую части, получаем, что сумма коэффициентов разложения бинома Ньютона равна $2^n$.

По условию задачи, эта сумма равна 512. Составим и решим уравнение:

$2^n = 512$

Так как $512 = 2^9$, то:

$2^n = 2^9$

Отсюда следует, что $n=9$.

Ответ: 9

136. В выражении $(3x+1)^9$ раскрыли скобки по формуле бинома Ньютона. Чему равна сумма коэффициентов полученного многочлена?

Для нахождения суммы коэффициентов многочлена, полученного в результате раскрытия скобок, используется простое свойство. Сумма коэффициентов любого многочлена $P(x)$ равна значению этого многочлена при $x=1$.

Пусть $P(x) = (3x + 1)^9$. После раскрытия скобок мы получим многочлен вида:
$P(x) = a_9 x^9 + a_8 x^8 + \dots + a_1 x + a_0$

Сумма коэффициентов этого многочлена равна $S = a_9 + a_8 + \dots + a_1 + a_0$.
Если мы подставим $x=1$ в многочлен, то получим:
$P(1) = a_9(1)^9 + a_8(1)^8 + \dots + a_1(1) + a_0 = a_9 + a_8 + \dots + a_1 + a_0 = S$.

Таким образом, чтобы найти сумму коэффициентов, нам нужно просто вычислить значение исходного выражения при $x=1$:
$S = P(1) = (3 \cdot 1 + 1)^9 = (3 + 1)^9 = 4^9$.

Вычислим $4^9$:
$4^9 = (2^2)^9 = 2^{18}$.
Мы знаем, что $2^{10} = 1024$ и $2^8 = 256$.
Тогда $2^{18} = 2^{10} \cdot 2^8 = 1024 \cdot 256 = 262144$.

Ответ: 262144.