Страница 66 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

172. В коробке лежат 2 красных и 4 синих шара. Случайным образом из коробки один за другим вынимают по одному шару до тех пор, пока не будет вынут красный шар, и записывают, сколько раз пришлось вынимать шар. Составьте таблицу распределения вероятностей рассматриваемой случайной величины и вычислите её математическое ожидание.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству вынутых шаров до появления первого красного шара.

Всего в коробке $2 + 4 = 6$ шаров.

Эксперимент прекращается, как только вынут красный шар. Поскольку в коробке всего 4 синих шара, в худшем случае мы сначала вынем все 4 синих шара, и пятым шаром обязательно будет красный. Таким образом, случайная величина $X$ может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5.

Составление таблицы распределения вероятностей

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.

1. $X=1$: это означает, что первый же вынутый шар — красный. Вероятность этого события:

$P(X=1) = \frac{\text{число красных шаров}}{\text{общее число шаров}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2. $X=2$: это означает, что первый шар был синим (С), а второй — красным (К). Вероятность этого события (события зависимы, так как шары не возвращаются):

$P(X=2) = P(С_1) \cdot P(К_2|С_1) = \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$

3. $X=3$: это означает, что первые два шара были синими, а третий — красным.

$P(X=3) = P(С_1) \cdot P(С_2|С_1) \cdot P(К_3|С_1, С_2) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{24}{120} = \frac{1}{5}$

4. $X=4$: это означает, что первые три шара были синими, а четвертый — красным.

$P(X=4) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{48}{360} = \frac{2}{15}$

5. $X=5$: это означает, что первые четыре шара были синими, а пятый — красным.

$P(X=5) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{24}{360} = \frac{1}{15}$

Проверим, что сумма вероятностей равна 1. Приведем все дроби к общему знаменателю 15:

$P(X=1) = \frac{1}{3} = \frac{5}{15}$

$P(X=2) = \frac{4}{15}$

$P(X=3) = \frac{1}{5} = \frac{3}{15}$

$P(X=4) = \frac{2}{15}$

$P(X=5) = \frac{1}{15}$

Сумма: $\frac{5}{15} + \frac{4}{15} + \frac{3}{15} + \frac{2}{15} + \frac{1}{15} = \frac{15}{15} = 1$.

Теперь составим таблицу распределения вероятностей:

Ответ: Таблица распределения вероятностей случайной величины $X$ имеет вид:

Вычисление математического ожидания

Математическое ожидание $E(X)$ случайной величины вычисляется по формуле:

$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$

Подставим наши значения:

$E(X) = 1 \cdot \frac{5}{15} + 2 \cdot \frac{4}{15} + 3 \cdot \frac{3}{15} + 4 \cdot \frac{2}{15} + 5 \cdot \frac{1}{15}$

$E(X) = \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 1}{15}$

$E(X) = \frac{5 + 8 + 9 + 8 + 5}{15} = \frac{35}{15}$

Сократим дробь:

$E(X) = \frac{35}{15} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$

Ответ: Математическое ожидание равно $\frac{7}{3}$.

173. В коробке лежат 4 красных и 6 синих шаров. Случайным образом из коробки вынимают сразу 3 шара и записывают количество вынутых синих шаров. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству вынутых синих шаров. Всего в коробке находится $4 + 6 = 10$ шаров. Случайным образом вынимают 3 шара. Величина $X$ может принимать значения 0, 1, 2, 3.

Задача состоит в том, чтобы найти математическое ожидание $M(X)$ этой случайной величины. Это можно сделать несколькими способами.

Способ 1: По определению математического ожидания

Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле $M(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X=x_i)$, где $x_i$ — возможные значения величины, а $P(X=x_i)$ — их вероятности.

Сначала найдем общее число способов вынуть 3 шара из 10. Оно равно числу сочетаний из 10 по 3:

$N = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$

Теперь определим вероятности для каждого возможного значения $X$.

Для $X=0$ (0 синих, 3 красных):
Число способов выбрать 0 синих из 6 и 3 красных из 4: $m_0 = C_6^0 \cdot C_4^3 = 1 \cdot 4 = 4$.
Вероятность: $P(X=0) = \frac{m_0}{N} = \frac{4}{120}$.

Для $X=1$ (1 синий, 2 красных):
Число способов выбрать 1 синий из 6 и 2 красных из 4: $m_1 = C_6^1 \cdot C_4^2 = 6 \cdot \frac{4 \cdot 3}{2} = 6 \cdot 6 = 36$.
Вероятность: $P(X=1) = \frac{m_1}{N} = \frac{36}{120}$.

Для $X=2$ (2 синих, 1 красный):
Число способов выбрать 2 синих из 6 и 1 красный из 4: $m_2 = C_6^2 \cdot C_4^1 = \frac{6 \cdot 5}{2} \cdot 4 = 15 \cdot 4 = 60$.
Вероятность: $P(X=2) = \frac{m_2}{N} = \frac{60}{120}$.

Для $X=3$ (3 синих, 0 красных):
Число способов выбрать 3 синих из 6 и 0 красных из 4: $m_3 = C_6^3 \cdot C_4^0 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot 1 = 20 \cdot 1 = 20$.
Вероятность: $P(X=3) = \frac{m_3}{N} = \frac{20}{120}$.

Теперь вычислим математическое ожидание, подставив значения в формулу:

$M(X) = 0 \cdot \frac{4}{120} + 1 \cdot \frac{36}{120} + 2 \cdot \frac{60}{120} + 3 \cdot \frac{20}{120} = \frac{0 + 36 + 120 + 60}{120} = \frac{216}{120}$

Сократим полученную дробь:

$M(X) = \frac{216}{120} = \frac{18}{10} = 1.8$

Способ 2: Использование свойств математического ожидания

Этот способ является более простым. Представим случайную величину $X$ (общее число синих шаров) как сумму трех индикаторных случайных величин: $X = X_1 + X_2 + X_3$, где $X_i=1$, если $i$-й вынутый шар синий, и $X_i=0$ в противном случае.

По свойству линейности математического ожидания: $M(X) = M(X_1 + X_2 + X_3) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3)$.

Математическое ожидание индикаторной случайной величины равно вероятности события, которое она представляет. Вероятность того, что любой извлеченный шар (первый, второй или третий) будет синим, одинакова и равна доле синих шаров в коробке.

$P(X_i=1) = \frac{\text{число синих шаров}}{\text{всего шаров}} = \frac{6}{10}$

Следовательно, $M(X_i) = \frac{6}{10}$ для $i=1, 2, 3$.

Тогда искомое математическое ожидание равно:

$M(X) = M(X_1) + M(X_2) + M(X_3) = \frac{6}{10} + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = 3 \cdot \frac{6}{10} = \frac{18}{10} = 1.8$

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 1.8

174. Стрелок попадает в мишень с вероятностью 80%. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, равной количеству попаданий стрелка в мишень в серии, состоящей из шести выстрелов. Найдите математическое ожидание рассматриваемой случайной величины.

Таблица распределения вероятностей

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству попаданий стрелка в мишень в серии из 6 выстрелов. Данная серия выстрелов является последовательностью из $n=6$ независимых испытаний (схема Бернулли). Вероятность успеха (попадания) в каждом испытании постоянна и равна $p=80\%=0.8$.

Следовательно, случайная величина $X$ имеет биномиальное распределение. Вероятность промаха в одном испытании равна $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Возможные значения случайной величины $X$ (число попаданий) — $k \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Рассчитаем вероятности для каждого значения $k$:
$P(X=0) = C_6^0 \cdot (0.8)^0 \cdot (0.2)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.000064 = 0.000064$
$P(X=1) = C_6^1 \cdot (0.8)^1 \cdot (0.2)^5 = 6 \cdot 0.8 \cdot 0.00032 = 0.001536$
$P(X=2) = C_6^2 \cdot (0.8)^2 \cdot (0.2)^4 = 15 \cdot 0.64 \cdot 0.0016 = 0.01536$
$P(X=3) = C_6^3 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^3 = 20 \cdot 0.512 \cdot 0.008 = 0.08192$
$P(X=4) = C_6^4 \cdot (0.8)^4 \cdot (0.2)^2 = 15 \cdot 0.4096 \cdot 0.04 = 0.24576$
$P(X=5) = C_6^5 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^1 = 6 \cdot 0.32768 \cdot 0.2 = 0.393216$
$P(X=6) = C_6^6 \cdot (0.8)^6 \cdot (0.2)^0 = 1 \cdot 0.262144 \cdot 1 = 0.262144$

Составим таблицу распределения вероятностей (закон распределения) для случайной величины $X$:

Проверка: сумма вероятностей всех возможных исходов должна быть равна 1.
$0.000064 + 0.001536 + 0.01536 + 0.08192 + 0.24576 + 0.393216 + 0.262144 = 1$.

Ответ: Таблица распределения вероятностей представлена выше.

Математическое ожидание

Математическое ожидание (среднее значение) для случайной величины, имеющей биномиальное распределение, вычисляется по простой формуле:
$E(X) = n \cdot p$

В данной задаче:
$n = 6$ (количество выстрелов)
$p = 0.8$ (вероятность попадания)

Подставим значения в формулу:
$E(X) = 6 \cdot 0.8 = 4.8$

Таким образом, математическое ожидание числа попаданий в серии из шести выстрелов равно 4.8. Это означает, что в среднем стрелок будет попадать 4.8 раза за каждую серию из 6 выстрелов.

Ответ: 4.8.