Страница 72 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

31. Сравните:

1) $\log_8 13$ и $\log_8 14$;

2) $\log_{0,9} 8$ и $\log_{0,9} 7$;

3) $\log_5 600$ и 4;

4) $\log_{\frac{1}{32}} 3$ и $-\frac{1}{5}$.

1) Для сравнения чисел $\log_8 13$ и $\log_8 14$ воспользуемся свойством монотонности логарифмической функции $y = \log_a x$.
Основание логарифмов $a = 8$. Так как $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.
Сравним аргументы логарифмов: $13 < 14$.
Поскольку функция возрастающая, то из неравенства $13 < 14$ следует, что $\log_8 13 < \log_8 14$.
Ответ: $\log_8 13 < \log_8 14$.

2) Для сравнения чисел $\log_{0,9} 8$ и $\log_{0,9} 7$ рассмотрим логарифмическую функцию $y = \log_{0,9} x$.
Основание логарифмов $a = 0,9$. Так как $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Сравним аргументы логарифмов: $8 > 7$.
Поскольку функция убывающая, то из неравенства $8 > 7$ следует, что $\log_{0,9} 8 < \log_{0,9} 7$.
Ответ: $\log_{0,9} 8 < \log_{0,9} 7$.

3) Для сравнения $\log_5 600$ и $4$ представим число $4$ в виде логарифма с основанием $5$.
По определению логарифма, $4 = \log_5 5^4$.
Вычислим $5^4$: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.
Таким образом, $4 = \log_5 625$.
Теперь задача сводится к сравнению двух логарифмов с одинаковым основанием: $\log_5 600$ и $\log_5 625$.
Основание $a=5 > 1$, значит, функция $y = \log_5 x$ возрастающая. Сравним аргументы: $600 < 625$.
Следовательно, $\log_5 600 < \log_5 625$, а значит $\log_5 600 < 4$.
Ответ: $\log_5 600 < 4$.

4) Для сравнения $\log_{\frac{1}{32}} 3$ и $-\frac{1}{5}$ представим число $-\frac{1}{5}$ в виде логарифма с основанием $\frac{1}{32}$.
По определению логарифма, $-\frac{1}{5} = \log_{\frac{1}{32}} \left(\frac{1}{32}\right)^{-\frac{1}{5}}$.
Упростим выражение в аргументе логарифма: $\left(\frac{1}{32}\right)^{-\frac{1}{5}} = (32^{-1})^{-\frac{1}{5}} = 32^{(-1) \cdot (-\frac{1}{5})} = 32^{\frac{1}{5}} = \sqrt[5]{32} = 2$.
Таким образом, $-\frac{1}{5} = \log_{\frac{1}{32}} 2$.
Теперь сравним $\log_{\frac{1}{32}} 3$ и $\log_{\frac{1}{32}} 2$.
Основание $a = \frac{1}{32}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$, значит, функция $y = \log_{\frac{1}{32}} x$ убывающая.
Сравним аргументы: $3 > 2$.
Так как функция убывающая, большему аргументу соответствует меньшее значение логарифма: $\log_{\frac{1}{32}} 3 < \log_{\frac{1}{32}} 2$.
Следовательно, $\log_{\frac{1}{32}} 3 < -\frac{1}{5}$.
Ответ: $\log_{\frac{1}{32}} 3 < -\frac{1}{5}$.

32. Сравните числа b и c, если:

1) $\log_{4,3} b > \log_{4,3} c$;

2) $\log_{\frac{4}{9}} b \ge \log_{\frac{4}{9}} c$.

1) Дано неравенство $log_{4,3} b > log_{4,3} c$.

Для сравнения чисел $b$ и $c$ необходимо рассмотреть основание логарифма. Свойство логарифмической функции $y = log_a(x)$ зависит от значения ее основания $a$.

В данном случае основание $a = 4,3$.

Так как основание $a = 4,3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Для возрастающей функции большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.

Следовательно, из неравенства $log_{4,3} b > log_{4,3} c$ следует, что $b > c$.

Ответ: $b > c$.

2) Дано неравенство $log_{\frac{4}{9}} b \ge log_{\frac{4}{9}} c$.

В данном случае основание логарифма $a = \frac{4}{9}$.

Так как основание $0 < a = \frac{4}{9} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Для убывающей функции большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства должен быть изменен на противоположный.

Следовательно, из неравенства $log_{\frac{4}{9}} b \ge log_{\frac{4}{9}} c$ следует, что $b \le c$.

Ответ: $b \le c$.

33. Сравните с нулём:

1) $log_5 9;$

2) $log_{0,2} 0,7;$

3) $log_6 0,3;$

4) $log_{\frac{1}{6}} 12.$

Для сравнения значения логарифма $log_a b$ с нулём, можно воспользоваться тем, что $0 = log_a 1$ для любого допустимого основания $a$. Знак логарифма определяется тем, находятся ли основание $a$ и аргумент $b$ по одну сторону от единицы или по разные.

Правило сравнения:

• Если основание $a$ и аргумент $b$ одновременно больше 1 ($a>1, b>1$) или одновременно меньше 1 ($0<a<1, 0<b<1$), то логарифм положителен: $log_a b > 0$.
• Если основание $a$ больше 1, а аргумент $b$ меньше 1 ($a>1, 0<b<1$), или наоборот ($0<a<1, b>1$), то логарифм отрицателен: $log_a b < 0$.

1) $log_5 9$

Основание $a = 5 > 1$ и аргумент $b = 9 > 1$. Так как основание и аргумент оба больше 1, они находятся по одну сторону от единицы, следовательно, логарифм положителен.

Ответ: $log_5 9 > 0$

2) $log_{0,2} 0,7$

Основание $a = 0,2$, что находится в интервале $(0; 1)$. Аргумент $b = 0,7$, что также находится в интервале $(0; 1)$. Так как основание и аргумент оба меньше 1, они находятся по одну сторону от единицы, следовательно, логарифм положителен.

Ответ: $log_{0,2} 0,7 > 0$

3) $log_6 0,3$

Основание $a = 6 > 1$, а аргумент $b = 0,3$ находится в интервале $(0; 1)$. Так как основание больше 1, а аргумент меньше 1, они находятся по разные стороны от единицы, следовательно, логарифм отрицателен.

Ответ: $log_6 0,3 < 0$

4) $log_{\frac{1}{6}} 12$

Основание $a = \frac{1}{6}$, что находится в интервале $(0; 1)$, а аргумент $b = 12 > 1$. Так как основание меньше 1, а аргумент больше 1, они находятся по разные стороны от единицы, следовательно, логарифм отрицателен.

Ответ: $log_{\frac{1}{6}} 12 < 0$

34. Сравните с единицей основание логарифма, если:

1) $\log_a 6,3 < \log_a 5,8;$

2) $\log_a 0,7 < \log_a 1,1.$

1) $\log_{a}6,3 < \log_{a}5,8$

Для решения данной задачи необходимо использовать свойства монотонности логарифмической функции $y = \log_{a}x$. Поведение этой функции напрямую зависит от ее основания $a$.

• Если основание $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть, если $x_2 > x_1$, то $\log_{a}x_2 > \log_{a}x_1$. Знак неравенства сохраняется.
• Если основание $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть, если $x_2 > x_1$, то $\log_{a}x_2 < \log_{a}x_1$. Знак неравенства меняется на противоположный.

Теперь проанализируем заданное неравенство: $\log_{a}6,3 < \log_{a}5,8$.

Сравним аргументы логарифмов: $6,3$ и $5,8$.

Очевидно, что $6,3 > 5,8$.

Мы видим, что большему аргументу ($6,3$) соответствует меньшее значение логарифма ($\log_{a}6,3 < \log_{a}5,8$). Это означает, что знак неравенства для аргументов ($>$) противоположен знаку неравенства для их логарифмов ($<$).

Такое поведение характерно для убывающей функции, что, в свою очередь, означает, что основание логарифма $a$ находится в интервале от 0 до 1.

Ответ: $0 < a < 1$.

2) $\log_{a}0,7 < \log_{a}1,1$

Воспользуемся теми же свойствами логарифмической функции, что и в предыдущем пункте.

Сначала сравним аргументы логарифмов: $0,7$ и $1,1$.

Очевидно, что $0,7 < 1,1$.

Теперь посмотрим на неравенство для логарифмов: $\log_{a}0,7 < \log_{a}1,1$.

В данном случае меньшему аргументу ($0,7$) соответствует меньшее значение логарифма. Знак неравенства для аргументов ($<$) совпадает со знаком неравенства для их логарифмов ($<$).

Такое поведение характерно для возрастающей функции. Следовательно, основание логарифма $a$ больше 1.

Ответ: $a > 1$.

35. На каком промежутке наибольшее значение функции $y = \log_{\frac{1}{5}} x$ равно 1, а наименьшее равно -4?

Дана функция $y = \log_{\frac{1}{5}} x$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{5}$. Поскольку $0 < a < 1$, данная логарифмическая функция является убывающей на всей своей области определения ($x > 0$).

Это означает, что на любом промежутке $[x_1, x_2]$ наибольшее значение функции будет достигаться в точке $x_1$ (левая граница), а наименьшее — в точке $x_2$ (правая граница).

По условию, наибольшее значение функции равно 1. Найдем соответствующее значение $x$:

$\log_{\frac{1}{5}} x = 1$

По определению логарифма:

$x = (\frac{1}{5})^1 = \frac{1}{5}$

Это будет левая граница искомого промежутка.

Также по условию, наименьшее значение функции равно -4. Найдем соответствующее значение $x$:

$\log_{\frac{1}{5}} x = -4$

По определению логарифма:

$x = (\frac{1}{5})^{-4} = (5^{-1})^{-4} = 5^4 = 625$

Это будет правая граница искомого промежутка.

Таким образом, искомый промежуток — это $[\frac{1}{5}, 625]$.

Ответ: $[\frac{1}{5}; 625]$

36. Установите соответствие между функциями, записанными в левом столбце, и их областями определения, записанными в правом столбце.

Функции

А) $y = \log_7(8 - x)$

Б) $y = \log_{8-x} 7$

В) $y = \log_{x+1}(8 - x)$

Г) $y = \log_{8-x}(x + 1)$

Области определения

1) $(-\infty; 7) \cup (7; 8)$

2) $(-1; 0) \cup (0; 8)$

3) $(-1; 7) \cup (7; 8)$

4) $(-\infty; 8)$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А

Б

В

Г

Для нахождения области определения логарифмической функции вида $y = \log_a(b)$ необходимо, чтобы одновременно выполнялись следующие три условия:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $b > 0$.
2. Основание логарифма должно быть строго положительным: $a > 0$.
3. Основание логарифма не должно быть равно единице: $a \neq 1$.

Применим эти правила к каждой из предложенных функций.

А) $y = \log_{7}(8 - x)$

Основание логарифма $a = 7$ является константой, которая удовлетворяет условиям $a > 0$ и $a \neq 1$. Следовательно, нужно учесть только условие для аргумента $b = 8 - x$:
$8 - x > 0$
$-x > -8$
$x < 8$
Область определения: $(-\infty; 8)$. Это соответствует варианту ответа 4.
Ответ: 4

Б) $y = \log_{8-x}(7)$

Аргумент логарифма $b = 7$ является константой, которая удовлетворяет условию $b > 0$. Необходимо рассмотреть условия для основания $a = 8 - x$:
1) $8 - x > 0 \implies x < 8$
2) $8 - x \neq 1 \implies x \neq 7$
Объединяя эти условия, получаем, что $x$ может быть любым числом меньше 8, кроме 7. Область определения: $(-\infty; 7) \cup (7; 8)$. Это соответствует варианту ответа 1.
Ответ: 1

В) $y = \log_{x+1}(8 - x)$

В этой функции и основание, и аргумент зависят от $x$. Запишем систему условий:
$\begin{cases} 8 - x > 0 \\ x + 1 > 0 \\ x + 1 \neq 1 \end{cases}$
Решим каждое неравенство в системе:
$\begin{cases} x < 8 \\ x > -1 \\ x \neq 0 \end{cases}$
Объединяя все условия, получаем: $-1 < x < 8$ и $x \neq 0$. Область определения: $(-1; 0) \cup (0; 8)$. Это соответствует варианту ответа 2.
Ответ: 2

Г) $y = \log_{8-x}(x + 1)$

В этой функции также и основание, и аргумент зависят от $x$. Запишем систему условий:
$\begin{cases} x + 1 > 0 \\ 8 - x > 0 \\ 8 - x \neq 1 \end{cases}$
Решим каждое неравенство в системе:
$\begin{cases} x > -1 \\ x < 8 \\ x \neq 7 \end{cases}$
Объединяя все условия, получаем: $-1 < x < 8$ и $x \neq 7$. Область определения: $(-1; 7) \cup (7; 8)$. Это соответствует варианту ответа 3.
Ответ: 3

Итоговая таблица соответствия: