Страница 68 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

8. Постройте график функции:

1) $y = 4^x - 5;$

2) $y = 4^{x-3};$

3) $y = 6 - 4^x;$

4) $y = |4^x - 1|.$

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразований графика базовой показательной функции $y = 4^x$.

График функции $y = 4^x$ — это возрастающая кривая, проходящая через точку $(0, 1)$ и имеющая горизонтальную асимптоту $y=0$ (ось Ox).

1) y = 4^x – 5;

График этой функции можно получить из графика функции $y = 4^x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси Oy на 5 единиц вниз.

Выполним построение по шагам:
1. Строим график базовой функции $y = 4^x$. Ключевые точки: $(-1, 1/4)$, $(0, 1)$, $(1, 4)$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.
2. Сдвигаем этот график на 5 единиц вниз. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = 4^x$ перейдет в точку $(x, y-5)$.
- Ключевая точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 1-5)$, то есть $(0, -4)$. Это точка пересечения с осью Oy.
- Точка $(1, 4)$ переходит в точку $(1, 4-5)$, то есть $(1, -1)$.
- Точка $(-1, 1/4)$ переходит в точку $(-1, 1/4-5)$, то есть $(-1, -4.75)$.
3. Горизонтальная асимптота $y=0$ также сдвигается на 5 единиц вниз и становится прямой $y = -5$.
4. Найдем точку пересечения с осью Ox (нуль функции), решив уравнение $y=0$:
$4^x - 5 = 0 \implies 4^x = 5 \implies x = \log_4 5$.
Таким образом, график пересекает ось Ox в точке $(\log_4 5, 0)$.

Ответ: График функции $y = 4^x - 5$ получается из графика $y = 4^x$ сдвигом на 5 единиц вниз вдоль оси Oy. Горизонтальная асимптота $y=-5$. График пересекает оси координат в точках $(\log_4 5, 0)$ и $(0, -4)$.

2) y = 4^x-3;

График этой функции можно получить из графика функции $y = 4^x$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси Ox на 3 единицы вправо.

Выполним построение по шагам:
1. Строим график базовой функции $y = 4^x$. Ключевые точки: $(-1, 1/4)$, $(0, 1)$, $(1, 4)$. Горизонтальная асимптота — $y=0$.
2. Сдвигаем этот график на 3 единицы вправо. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = 4^x$ перейдет в точку $(x+3, y)$.
- Ключевая точка $(0, 1)$ переходит в точку $(0+3, 1)$, то есть $(3, 1)$.
- Точка $(1, 4)$ переходит в точку $(1+3, 4)$, то есть $(4, 4)$.
- Точка $(-1, 1/4)$ переходит в точку $(-1+3, 1/4)$, то есть $(2, 1/4)$.
3. Горизонтальная асимптота $y=0$ при сдвиге вправо не меняется.
4. Найдем точку пересечения с осью Oy, подставив $x=0$:
$y = 4^{0-3} = 4^{-3} = 1/64$.
Таким образом, график пересекает ось Oy в точке $(0, 1/64)$.

Ответ: График функции $y = 4^{x-3}$ получается из графика $y = 4^x$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Горизонтальная асимптота $y=0$. График проходит через точки $(3, 1)$ и $(0, 1/64)$.

3) y = 6 – 4^x;

Преобразуем функцию к виду $y = -4^x + 6$. Ее график можно получить из графика $y = 4^x$ в два шага:
1. Симметричное отражение относительно оси Ox.
2. Сдвиг вверх на 6 единиц.

Выполним построение по шагам:
1. Строим график базовой функции $y = 4^x$.
2. Отражаем его симметрично относительно оси Ox, чтобы получить график функции $y = -4^x$.
- Точка $(0, 1)$ на графике $y=4^x$ переходит в точку $(0, -1)$.
- Точка $(1, 4)$ переходит в точку $(1, -4)$.
- Асимптота $y=0$ остается на месте.
3. Сдвигаем полученный график $y = -4^x$ на 6 единиц вверх. Каждая точка $(x, y)$ на графике $y = -4^x$ перейдет в точку $(x, y+6)$.
- Точка $(0, -1)$ переходит в точку $(0, -1+6)$, то есть $(0, 5)$. Это точка пересечения с осью Oy.
- Точка $(1, -4)$ переходит в точку $(1, -4+6)$, то есть $(1, 2)$.
- Горизонтальная асимптота $y=0$ сдвигается на 6 единиц вверх и становится прямой $y=6$.
4. Найдем точку пересечения с осью Ox, решив уравнение $y=0$:
$6 - 4^x = 0 \implies 4^x = 6 \implies x = \log_4 6$.
Таким образом, график пересекает ось Ox в точке $(\log_4 6, 0)$.

Ответ: График функции $y = 6 - 4^x$ получается из графика $y = 4^x$ путем его отражения относительно оси Ox и последующего сдвига на 6 единиц вверх. Горизонтальная асимптота $y=6$. График пересекает оси координат в точках $(\log_4 6, 0)$ и $(0, 5)$.

4) y = |4^x – 1|;

Для построения этого графика сначала построим график вспомогательной функции $y = 4^x - 1$, а затем применим операцию модуля (абсолютной величины).

Выполним построение по шагам:
1. Построим график функции $y = 4^x - 1$. Он получается из графика $y = 4^x$ сдвигом на 1 единицу вниз.
- Горизонтальная асимптота смещается к $y=-1$.
- Точка $(0, 1)$ смещается в точку $(0, 0)$ — начало координат.
- Точка $(1, 4)$ смещается в точку $(1, 3)$.
2. Теперь применим операцию модуля к функции $y = 4^x - 1$. Это означает, что часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), нужно симметрично отразить относительно оси Ox, а часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $y \ge 0$), оставить без изменений.
- Найдем, где $4^x - 1 < 0$. Это происходит при $4^x < 1$, то есть при $x < 0$.
- Таким образом, для $x < 0$ мы отражаем часть графика $y = 4^x - 1$ относительно оси Ox. Эта часть графика будет совпадать с графиком функции $y = -(4^x - 1) = 1 - 4^x$.
- Для $x \ge 0$ график $y = |4^x - 1|$ совпадает с графиком $y = 4^x - 1$.
3. Изучим поведение итогового графика:
- График проходит через начало координат $(0, 0)$.
- При $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.
- Асимптота $y = -1$ для функции $y = 4^x - 1$ при $x \to -\infty$ после отражения превращается в асимптоту $y = 1$. Таким образом, у графика $y = |4^x - 1|$ есть горизонтальная асимптота $y = 1$ при $x \to -\infty$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = |4^x - 1|$, нужно сначала построить график $y = 4^x - 1$ (сдвигом $y = 4^x$ на 1 вниз), а затем ту часть графика, что лежит ниже оси Ox (при $x<0$), симметрично отразить относительно оси Ox. Итоговый график проходит через точку $(0,0)$ и имеет горизонтальную асимптоту $y=1$ при $x \to -\infty$.

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 8^{\sin x}$;

2) $y = \left(\frac{1}{8}\right)^{|\cos x|} - 3.$

1) $y = 8^{\sin x}$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений данной функции, проанализируем её. Это показательная функция с основанием $a=8$. Так как основание $a > 1$, функция $y=8^u$ является возрастающей. Это означает, что её наибольшее значение достигается при наибольшем значении показателя степени, а наименьшее — при наименьшем значении показателя.

Показателем степени является функция $\sin x$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, наименьшее значение показателя $\sin x$ равно -1, а наибольшее значение равно 1.

Найдём наименьшее значение функции $y$, подставив минимальное значение показателя:

$y_{наим} = 8^{\min(\sin x)} = 8^{-1} = \frac{1}{8}$.

Найдём наибольшее значение функции $y$, подставив максимальное значение показателя:

$y_{наиб} = 8^{\max(\sin x)} = 8^1 = 8$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{8}$, наибольшее значение равно $8$.

2) $y = \left(\frac{1}{8}\right)^{|\cos x|} - 3$

Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{8}\right)^{|\cos x|} - 3$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{8}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция $f(u) = \left(\frac{1}{8}\right)^u$ является убывающей. Это означает, что её наибольшее значение достигается при наименьшем значении показателя степени, а наименьшее — при наибольшем значении показателя.

Показателем степени является функция $|\cos x|$. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений функции $|\cos x|$ — это отрезок $[0, 1]$.

Таким образом, наименьшее значение показателя $|\cos x|$ равно 0, а наибольшее значение равно 1.

Найдём наибольшее значение функции $y$. Оно будет достигнуто при наименьшем значении показателя, то есть при $|\cos x|=0$:

$y_{наиб} = \left(\frac{1}{8}\right)^{\min(|\cos x|)} - 3 = \left(\frac{1}{8}\right)^0 - 3 = 1 - 3 = -2$.

Найдём наименьшее значение функции $y$. Оно будет достигнуто при наибольшем значении показателя, то есть при $|\cos x|=1$:

$y_{наим} = \left(\frac{1}{8}\right)^{\max(|\cos x|)} - 3 = \left(\frac{1}{8}\right)^1 - 3 = \frac{1}{8} - 3 = \frac{1 - 24}{8} = -\frac{23}{8}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{23}{8}$, наибольшее значение равно $-2$.

10. Решите уравнение:

1) $7^x = 343;$

2) $13^{3x-5} = 13^{6x};$

3) $15^{x^2-2x-48} = 1;$

4) $216^x = 36;$

5) $(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{9}{25})^{x-7};$

6) $(2^{x-6})^{x-2} = 32;$

7) $(\frac{21}{22})^x \cdot (\frac{2}{7})^x = \frac{121}{9};$

8) $18^{x^2+6x} = 19^{x^2+6x};$

9) $3^{x-2} \cdot 5^x = \frac{1}{9} \cdot 15^{4-3x};$

10) $\sqrt[3]{16^{x+3}} = \sqrt{128^{1-x}}.$

1) $7^x = 343$

Представим число 343 как степень числа 7.
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 343$
Получаем уравнение:
$7^x = 7^3$
Так как основания степеней равны, то равны и их показатели.
$x = 3$
Ответ: 3

2) $13^{3x-5} = 13^{6x}$

Основания степеней в обеих частях уравнения равны (13), поэтому мы можем приравнять их показатели.
$3x - 5 = 6x$
$6x - 3x = -5$
$3x = -5$
$x = -\frac{5}{3}$
Ответ: $-\frac{5}{3}$

3) $15^{x^2-2x-48} = 1$

Любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1. Так как основание 15 не равно 0, приравняем показатель степени к нулю.
$x^2 - 2x - 48 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -48$
Подбираем корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -6$.
$8 + (-6) = 2$
$8 \cdot (-6) = -48$
Корни найдены верно.
Ответ: -6; 8

4) $216^x = 36$

Представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Заметим, что 216 и 36 являются степенями числа 6.
$36 = 6^2$
$216 = 6^3$
Подставим эти значения в уравнение:
$(6^3)^x = 6^2$
$6^{3x} = 6^2$
Приравниваем показатели степеней:
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

5) $(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{9}{25})^{x-7}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2$. Также, $(\frac{3}{5})$ является обратной дробью к $(\frac{5}{3})$, то есть $(\frac{3}{5}) = (\frac{5}{3})^{-1}$.
$\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2 = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$
Подставим это в правую часть уравнения:
$(\frac{5}{3})^{x-4} = ((\frac{5}{3})^{-2})^{x-7}$
$(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{5}{3})^{-2(x-7)}$
$(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{5}{3})^{-2x+14}$
Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:
$x - 4 = -2x + 14$
$x + 2x = 14 + 4$
$3x = 18$
$x = 6$
Ответ: 6

6) $(2^{x-6})^{x-2} = 32$

Упростим левую часть уравнения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, и представим правую часть как степень числа 2.
$2^{(x-6)(x-2)} = 2^5$
Приравниваем показатели степеней:
$(x-6)(x-2) = 5$
$x^2 - 2x - 6x + 12 = 5$
$x^2 - 8x + 12 - 5 = 0$
$x^2 - 8x + 7 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 8$
$x_1 \cdot x_2 = 7$
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.
Ответ: 1; 7

7) $(\frac{21}{22})^x \cdot (\frac{2}{7})^x = \frac{121}{9}$

Используем свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для левой части уравнения.
$(\frac{21}{22} \cdot \frac{2}{7})^x = \frac{121}{9}$
Упростим выражение в скобках:
$(\frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 11} \cdot \frac{2}{7})^x = \frac{121}{9}$
$(\frac{3}{11})^x = \frac{121}{9}$
Представим правую часть как степень с основанием $\frac{3}{11}$.
$\frac{121}{9} = \frac{11^2}{3^2} = (\frac{11}{3})^2 = (\frac{3}{11})^{-2}$
Получаем уравнение:
$(\frac{3}{11})^x = (\frac{3}{11})^{-2}$
$x = -2$
Ответ: -2

8) $18^{x^2+6x} = 19^{x^2+6x}$

Равенство степеней с разными основаниями ($18 \neq 19$) возможно только в том случае, если их показатель равен нулю, так как любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1.
$x^2 + 6x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x+6) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$ или $x+6=0 \implies x_2 = -6$
Ответ: -6; 0

9) $3^{x-2} \cdot 5^x = \frac{1}{9} \cdot 15^{4-3x}$

Приведем все степени к основаниям 3 и 5.
$\frac{1}{9} = 3^{-2}$
$15 = 3 \cdot 5$
Подставим в уравнение:
$3^{x-2} \cdot 5^x = 3^{-2} \cdot (3 \cdot 5)^{4-3x}$
$3^{x-2} \cdot 5^x = 3^{-2} \cdot 3^{4-3x} \cdot 5^{4-3x}$
$3^{x-2} \cdot 5^x = 3^{-2+4-3x} \cdot 5^{4-3x}$
$3^{x-2} \cdot 5^x = 3^{2-3x} \cdot 5^{4-3x}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями (разделим обе части на $3^{2-3x}$ и $5^x$):
$\frac{3^{x-2}}{3^{2-3x}} = \frac{5^{4-3x}}{5^x}$
$3^{(x-2)-(2-3x)} = 5^{(4-3x)-x}$
$3^{x-2-2+3x} = 5^{4-4x}$
$3^{4x-4} = 5^{4-4x}$
Это равенство вида $a^y = b^y$, которое возможно только при $y=0$.
$4x-4 = 0$
$4x = 4$
$x = 1$
Ответ: 1

10) $\sqrt[3]{16^{x+3}} = \sqrt{128^{1-x}}$

Представим основания 16 и 128 как степени числа 2.
$16 = 2^4$
$128 = 2^7$
Подставим в уравнение:
$\sqrt[3]{(2^4)^{x+3}} = \sqrt{(2^7)^{1-x}}$
$\sqrt[3]{2^{4(x+3)}} = \sqrt{2^{7(1-x)}}$
Представим корни в виде дробных степеней:
$(2^{4x+12})^{\frac{1}{3}} = (2^{7-7x})^{\frac{1}{2}}$
$2^{\frac{4x+12}{3}} = 2^{\frac{7-7x}{2}}$
Приравниваем показатели степеней:
$\frac{4x+12}{3} = \frac{7-7x}{2}$
Решим уравнение, используя основное свойство пропорции:
$2(4x+12) = 3(7-7x)$
$8x + 24 = 21 - 21x$
$8x + 21x = 21 - 24$
$29x = -3$
$x = -\frac{3}{29}$
Ответ: $-\frac{3}{29}$

11. Решите уравнение:

1) $3^{x+3} + 3^x = 84;$

2) $6^x - 5 \cdot 6^{x-2} = 186;$

3) $5 \cdot 2^{x-4} - 3 \cdot 2^{x-1} + 6 \cdot 2^{x+1} = 173;$

4) $625^{x+0,5} - 4 \cdot 5^{4x+1} - 11 \cdot 25^{2x-0,5} = 350;$

5) $7^{x+1} - 7^x - 33 \cdot 7^{x-1} = 3^{x+2} - 3^{x+1} + 31 \cdot 3^{x-1};$

6) $9^x - 2^{x-0,5} = 2^{x+3,5} - 3^{2x-1}.$

1) $3^{x+3} + 3^x = 84$
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать первое слагаемое:
$3^x \cdot 3^3 + 3^x = 84$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(3^3 + 1) = 84$
Вычислим значение в скобках:
$3^x(27 + 1) = 84$
$28 \cdot 3^x = 84$
Разделим обе части уравнения на 28, чтобы найти $3^x$:
$3^x = \frac{84}{28}$
$3^x = 3$
Поскольку $3 = 3^1$, мы можем приравнять показатели степеней:
$x = 1$
Ответ: $1$.

2) $6^x - 5 \cdot 6^{x-2} = 186$
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$6^x - 5 \cdot \frac{6^x}{6^2} = 186$
Вынесем общий множитель $6^x$ за скобки:
$6^x(1 - \frac{5}{36}) = 186$
Вычислим значение в скобках:
$6^x(\frac{36 - 5}{36}) = 186$
$6^x \cdot \frac{31}{36} = 186$
Выразим $6^x$:
$6^x = 186 \cdot \frac{36}{31}$
Так как $186 / 31 = 6$, получаем:
$6^x = 6 \cdot 36$
$6^x = 6 \cdot 6^2$
$6^x = 6^3$
Приравниваем показатели степеней:
$x = 3$
Ответ: $3$.

3) $5 \cdot 2^{x-4} - 3 \cdot 2^{x-1} + 6 \cdot 2^{x+1} = 173$
Приведем все степени к одному основанию с наименьшим показателем, $2^{x-4}$:
$5 \cdot 2^{x-4} - 3 \cdot 2^{(x-4)+3} + 6 \cdot 2^{(x-4)+5} = 173$
$5 \cdot 2^{x-4} - 3 \cdot 2^{x-4} \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^{x-4} \cdot 2^5 = 173$
Вынесем общий множитель $2^{x-4}$ за скобки:
$2^{x-4}(5 - 3 \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^5) = 173$
Вычислим значение в скобках:
$2^{x-4}(5 - 3 \cdot 8 + 6 \cdot 32) = 173$
$2^{x-4}(5 - 24 + 192) = 173$
$2^{x-4} \cdot 173 = 173$
Разделим обе части на 173:
$2^{x-4} = 1$
Представим 1 как степень с основанием 2, т.е. $2^0$:
$2^{x-4} = 2^0$
Приравниваем показатели степеней:
$x - 4 = 0$
$x = 4$
Ответ: $4$.

4) $625^{x+0,5} - 4 \cdot 5^{4x+1} - 11 \cdot 25^{2x-0,5} = 350$
Приведем все основания к степени 5, так как $625=5^4$ и $25=5^2$:
$(5^4)^{x+0,5} - 4 \cdot 5^{4x+1} - 11 \cdot (5^2)^{2x-0,5} = 350$
Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$5^{4(x+0,5)} - 4 \cdot 5^{4x+1} - 11 \cdot 5^{2(2x-0,5)} = 350$
$5^{4x+2} - 4 \cdot 5^{4x+1} - 11 \cdot 5^{4x-1} = 350$
Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, $5^{4x-1}$:
$5^{4x-1}(5^3 - 4 \cdot 5^2 - 11) = 350$
Вычислим значение в скобках:
$5^{4x-1}(125 - 4 \cdot 25 - 11) = 350$
$5^{4x-1}(125 - 100 - 11) = 350$
$5^{4x-1} \cdot 14 = 350$
Найдем $5^{4x-1}$:
$5^{4x-1} = \frac{350}{14} = 25$
Представим 25 как степень с основанием 5:
$5^{4x-1} = 5^2$
Приравниваем показатели степеней:
$4x - 1 = 2$
$4x = 3$
$x = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$.

5) $7^{x+1} - 7^x - 33 \cdot 7^{x-1} = 3^{x+2} - 3^{x+1} + 31 \cdot 3^{x-1}$
Упростим левую и правую части уравнения по отдельности, вынося общие множители.
Левая часть: $7^{x+1} - 7^x - 33 \cdot 7^{x-1}$. Выносим $7^{x-1}$:
$7^{x-1}(7^2 - 7^1 - 33) = 7^{x-1}(49 - 7 - 33) = 7^{x-1} \cdot 9$
Правая часть: $3^{x+2} - 3^{x+1} + 31 \cdot 3^{x-1}$. Выносим $3^{x-1}$:
$3^{x-1}(3^3 - 3^2 + 31) = 3^{x-1}(27 - 9 + 31) = 3^{x-1} \cdot 49$
Теперь приравняем упрощенные части:
$9 \cdot 7^{x-1} = 49 \cdot 3^{x-1}$
Сгруппируем степени с $x$ в одной части, а числа в другой:
$\frac{7^{x-1}}{3^{x-1}} = \frac{49}{9}$
Используем свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$ :
$(\frac{7}{3})^{x-1} = (\frac{7}{3})^2$
Приравниваем показатели степеней:
$x - 1 = 2$
$x = 3$
Ответ: $3$.

6) $9^x - 2^{x-0,5} = 2^{x+3,5} - 3^{2x-1}$
Заметим, что $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$. Перепишем уравнение и сгруппируем члены с одинаковыми основаниями:
$3^{2x} + 3^{2x-1} = 2^{x+3,5} + 2^{x-0,5}$
В левой части вынесем за скобки $3^{2x-1}$, а в правой $2^{x-0,5}$:
$3^{2x-1}(3^1 + 1) = 2^{x-0,5}(2^4 + 1)$
Вычислим значения в скобках:
$3^{2x-1} \cdot 4 = 2^{x-0,5} \cdot 17$
Преобразуем степени:
$4 \cdot \frac{3^{2x}}{3} = 17 \cdot \frac{2^x}{2^{0,5}}$
$\frac{4}{3} \cdot (3^2)^x = \frac{17}{\sqrt{2}} \cdot 2^x$
$\frac{4}{3} \cdot 9^x = \frac{17}{\sqrt{2}} \cdot 2^x$
Разделим переменные, собрав степени с $x$ слева:
$\frac{9^x}{2^x} = \frac{17}{\sqrt{2}} \cdot \frac{3}{4}$
$(\frac{9}{2})^x = \frac{51}{4\sqrt{2}}$
Чтобы найти $x$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\frac{9}{2}$:
$x = \log_{\frac{9}{2}}\left(\frac{51}{4\sqrt{2}}\right)$
Ответ: $x = \log_{\frac{9}{2}}\left(\frac{51}{4\sqrt{2}}\right)$.

12. Решите уравнение:

1) $11^{2x} - 12 \cdot 11^x + 11 = 0$

2) $5 \cdot 25^x + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$

3) $6^{2x+9} - 35 \cdot 6^{x+4} - 1 = 0$

4) $9^{x-1} - 36 \cdot 3^{x-3} + 3 = 0$

5) $\frac{4}{2^{x-2} + 2} - \frac{1}{2^{x-2} - 3} = 2$

6) $10^x - 10^{1-x} = 9$

7) $3 - \cos 2x + 3\sin^2 x - 6 = 0$

8) $\left(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\right)^x + \left(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\right)^x = 14$

1) $11^{2x} - 12 \cdot 11^x + 11 = 0$

Это показательное уравнение, которое сводится к квадратному. Пусть $y = 11^x$. Так как основание степени $11 > 0$, то $y > 0$.
Заменяем $11^x$ на $y$ в исходном уравнении: $11^{2x} = (11^x)^2 = y^2$.
Получаем квадратное уравнение: $y^2 - 12y + 11 = 0$.
Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а произведение равно 11. Легко подобрать корни:
$y_1 = 11$
$y_2 = 1$
Оба корня положительны, поэтому оба подходят под условие $y > 0$.
Теперь вернемся к замене:
1) $11^x = y_1 = 11$. Отсюда $11^x = 11^1$, следовательно, $x = 1$.
2) $11^x = y_2 = 1$. Отсюда $11^x = 11^0$, следовательно, $x = 0$.
Ответ: $x = 0; x = 1$.

2) $5 \cdot 25^x + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$

Представим $25^x$ как $(5^2)^x = (5^x)^2$. Уравнение примет вид:
$5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = 5^x$, где $y > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $5y^2 + 4y - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому отбрасываем его.
Возвращаемся к замене с $y_1 = \frac{1}{5}$:
$5^x = \frac{1}{5}$
$5^x = 5^{-1}$
$x = -1$
Ответ: $x = -1$.

3) $6^{2x+9} - 35 \cdot 6^{x+4} - 1 = 0$

Преобразуем степени, чтобы выделить общий множитель. Заметим, что $2x+9 = 2(x+4) + 1$.
$6^{2(x+4)+1} - 35 \cdot 6^{x+4} - 1 = 0$
$6^1 \cdot 6^{2(x+4)} - 35 \cdot 6^{x+4} - 1 = 0$
$6 \cdot (6^{x+4})^2 - 35 \cdot 6^{x+4} - 1 = 0$
Сделаем замену. Пусть $y = 6^{x+4}$, где $y>0$.
Получаем квадратное уравнение: $6y^2 - 35y - 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-35)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1225 + 24 = 1249$.
Корень из 1249 не является целым числом, что нетипично для задач такого типа. Вероятно, в условии допущена опечатка. Если предположить, что свободный член равен -6, а не -1, то задача имеет "красивое" решение.
Предположим, уравнение выглядит так: $6 \cdot (6^{x+4})^2 - 35 \cdot 6^{x+4} - 6 = 0$.
Тогда $D = (-35)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 1225 + 144 = 1369 = 37^2$.
Корни для $y$:
$y_1 = \frac{35 + 37}{12} = \frac{72}{12} = 6$
$y_2 = \frac{35 - 37}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$ (не подходит, так как $y>0$)
Возвращаемся к замене: $6^{x+4} = 6^1$, откуда $x+4=1$, $x=-3$.
(Решая исходное уравнение, получили бы $x = \log_6\left(\frac{35+\sqrt{1249}}{12}\right)-4$)
Ответ: (При условии, что свободный член равен -6) $x = -3$.

4) $9^{x-1} - 36 \cdot 3^{x-3} + 3 = 0$

Приведем все степени к основанию 3.
$9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2x-2} = 3^{2x} \cdot 3^{-2} = \frac{(3^x)^2}{9}$
$3^{x-3} = 3^x \cdot 3^{-3} = \frac{3^x}{27}$
Подставим в уравнение:
$\frac{(3^x)^2}{9} - 36 \cdot \frac{3^x}{27} + 3 = 0$
$\frac{(3^x)^2}{9} - \frac{4}{3} \cdot 3^x + 3 = 0$
Сделаем замену $y = 3^x$, где $y > 0$.
$\frac{y^2}{9} - \frac{4}{3}y + 3 = 0$
Умножим все уравнение на 9, чтобы избавиться от дробей:
$y^2 - 12y + 27 = 0$
По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 12$, $y_1 \cdot y_2 = 27$. Корни: $y_1 = 3$, $y_2 = 9$.
Оба корня положительны.
Вернемся к замене:
1) $3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.
2) $3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.
Ответ: $x = 1; x = 2$.

5) $\frac{4}{2^{x-2} + 2} - \frac{1}{2^{x-2} - 3} = 2$

Сделаем замену. Пусть $y = 2^{x-2}$, где $y>0$.
Уравнение примет вид: $\frac{4}{y + 2} - \frac{1}{y - 3} = 2$.
Область допустимых значений: $y+2 \ne 0 \implies y \ne -2$ (выполнено, т.к. $y>0$) и $y-3 \ne 0 \implies y \ne 3$.
Приведем к общему знаменателю $(y+2)(y-3)$:
$\frac{4(y-3) - 1(y+2)}{(y+2)(y-3)} = 2$
$4y - 12 - y - 2 = 2(y+2)(y-3)$
$3y - 14 = 2(y^2 - y - 6)$
$3y - 14 = 2y^2 - 2y - 12$
$2y^2 - 5y + 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$y_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня удовлетворяют условиям $y>0$ и $y \ne 3$.
Возвращаемся к замене:
1) $2^{x-2} = 2 \implies 2^{x-2} = 2^1 \implies x-2 = 1 \implies x = 3$.
2) $2^{x-2} = \frac{1}{2} \implies 2^{x-2} = 2^{-1} \implies x-2 = -1 \implies x = 1$.
Ответ: $x = 1; x = 3$.

6) $10^x - 10^{1-x} = 9$

Преобразуем второе слагаемое: $10^{1-x} = \frac{10^1}{10^x} = \frac{10}{10^x}$.
Уравнение примет вид: $10^x - \frac{10}{10^x} = 9$.
Сделаем замену $y = 10^x$, где $y>0$.
$y - \frac{10}{y} = 9$
Умножим обе части на $y$ (так как $y \ne 0$):
$y^2 - 10 = 9y$
$y^2 - 9y - 10 = 0$
По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 9$, $y_1 \cdot y_2 = -10$. Корни: $y_1 = 10$, $y_2 = -1$.
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y>0$.
Возвращаемся к замене: $10^x = 10 \implies 10^x = 10^1 \implies x=1$.
Ответ: $x = 1$.

7) $3 - \cos 2x + 3\sin^2 x - 6 = 0$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
$3 - (1 - 2\sin^2 x) + 3\sin^2 x - 6 = 0$
$3 - 1 + 2\sin^2 x + 3\sin^2 x - 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5\sin^2 x - 4 = 0$
$5\sin^2 x = 4$
$\sin^2 x = \frac{4}{5}$
Это уравнение можно решить через понижение степени. Формула понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$.
$\frac{1-\cos 2x}{2} = \frac{4}{5}$
$1 - \cos 2x = \frac{8}{5}$
$\cos 2x = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$
Отсюда, $2x = \pm \arccos(-\frac{3}{5}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{1}{2}\arccos(-\frac{3}{5}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2}\arccos(-\frac{3}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8) $\left(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\right)^x + \left(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\right)^x = 14$

Упростим выражения под корнями, выделив полный квадрат. Используем формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Для $7 + 4\sqrt{3}$: $a^2+b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3} \implies ab = 2\sqrt{3}$.
Подбором находим $a=2, b=\sqrt{3}$. Проверяем: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$. Верно.
Значит, $7 + 4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$.
Аналогично, $7 - 4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.
Подставим это в уравнение:
$\left(\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}\right)^x + \left(\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}\right)^x = 14$
$(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 14$
Заметим, что основания степеней являются сопряженными и их произведение равно 1:
$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Отсюда $2-\sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}$.
Сделаем замену $y = (2+\sqrt{3})^x$. Тогда $(2-\sqrt{3})^x = ((2+\sqrt{3})^{-1})^x = (2+\sqrt{3})^{-x} = y^{-1} = \frac{1}{y}$.
Уравнение примет вид: $y + \frac{1}{y} = 14$.
Умножим на $y$ (так как $y=(2+\sqrt{3})^x > 0$):
$y^2 + 1 = 14y$
$y^2 - 14y + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 196 - 4 = 192$.
$\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$.
$y = \frac{14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 4\sqrt{3}$.
Возвращаемся к замене:
1) $(2+\sqrt{3})^x = 7 + 4\sqrt{3}$. Так как $7 + 4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$, то $(2+\sqrt{3})^x = (2+\sqrt{3})^2$, откуда $x=2$.
2) $(2+\sqrt{3})^x = 7 - 4\sqrt{3}$. Так как $7 - 4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2 = ((2+\sqrt{3})^{-1})^2 = (2+\sqrt{3})^{-2}$, то $(2+\sqrt{3})^x = (2+\sqrt{3})^{-2}$, откуда $x=-2$.
Ответ: $x = \pm 2$.