Номер 9, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

9. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 8^{\sin x}$;

2) $y = \left(\frac{1}{8}\right)^{|\cos x|} - 3.$

1) $y = 8^{\sin x}$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений данной функции, проанализируем её. Это показательная функция с основанием $a=8$. Так как основание $a > 1$, функция $y=8^u$ является возрастающей. Это означает, что её наибольшее значение достигается при наибольшем значении показателя степени, а наименьшее — при наименьшем значении показателя.

Показателем степени является функция $\sin x$. Область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$.

Следовательно, наименьшее значение показателя $\sin x$ равно -1, а наибольшее значение равно 1.

Найдём наименьшее значение функции $y$, подставив минимальное значение показателя:

$y_{наим} = 8^{\min(\sin x)} = 8^{-1} = \frac{1}{8}$.

Найдём наибольшее значение функции $y$, подставив максимальное значение показателя:

$y_{наиб} = 8^{\max(\sin x)} = 8^1 = 8$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{8}$, наибольшее значение равно $8$.

2) $y = \left(\frac{1}{8}\right)^{|\cos x|} - 3$

Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{8}\right)^{|\cos x|} - 3$. Это показательная функция с основанием $a = \frac{1}{8}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция $f(u) = \left(\frac{1}{8}\right)^u$ является убывающей. Это означает, что её наибольшее значение достигается при наименьшем значении показателя степени, а наименьшее — при наибольшем значении показателя.

Показателем степени является функция $|\cos x|$. Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, область значений функции $|\cos x|$ — это отрезок $[0, 1]$.

Таким образом, наименьшее значение показателя $|\cos x|$ равно 0, а наибольшее значение равно 1.

Найдём наибольшее значение функции $y$. Оно будет достигнуто при наименьшем значении показателя, то есть при $|\cos x|=0$:

$y_{наиб} = \left(\frac{1}{8}\right)^{\min(|\cos x|)} - 3 = \left(\frac{1}{8}\right)^0 - 3 = 1 - 3 = -2$.

Найдём наименьшее значение функции $y$. Оно будет достигнуто при наибольшем значении показателя, то есть при $|\cos x|=1$:

$y_{наим} = \left(\frac{1}{8}\right)^{\max(|\cos x|)} - 3 = \left(\frac{1}{8}\right)^1 - 3 = \frac{1}{8} - 3 = \frac{1 - 24}{8} = -\frac{23}{8}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $-\frac{23}{8}$, наибольшее значение равно $-2$.