Номер 6, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

6. Найдите область значений функции:

1) $y = -9x$;

2) $y = 9x + 6$;

3) $y = \left(\frac{1}{9}\right)^x - 4$;

4) $y = 9|x|$.

Рассмотрим функцию $y = -9^x$.

Область значений показательной функции $f(x) = a^x$ (где $a > 0$ и $a \neq 1$) есть интервал $(0, +\infty)$.

Для функции $g(x) = 9^x$ область значений — это все положительные числа, то есть $9^x > 0$ для любого действительного числа $x$.

Наша функция $y = -9^x$ получается умножением значений функции $g(x)$ на -1. Если мы умножим неравенство $9^x > 0$ на -1, знак неравенства изменится на противоположный:

$-1 \cdot 9^x < -1 \cdot 0$

$-9^x < 0$

Следовательно, значения функции $y$ всегда отрицательны. Таким образом, область значений функции — это интервал $(-\infty, 0)$.

Ответ: $(-\infty, 0)$

Рассмотрим функцию $y = 9^x + 6$.

Область значений функции $g(x) = 9^x$ — это интервал $(0, +\infty)$. Это означает, что $9^x > 0$ для любого действительного $x$.

Функция $y$ получается прибавлением константы 6 к значениям функции $g(x)$. Прибавим 6 к обеим частям неравенства:

$9^x + 6 > 0 + 6$

$y > 6$

Это означает, что значения функции $y$ всегда больше 6. Таким образом, область значений функции — это все числа в интервале $(6, +\infty)$.

Ответ: $(6, +\infty)$

Рассмотрим функцию $y = \left(\frac{1}{9}\right)^x - 4$.

Область значений показательной функции $g(x) = \left(\frac{1}{9}\right)^x$ — это интервал $(0, +\infty)$, так как основание $\frac{1}{9}$ положительно и не равно 1. Следовательно, $\left(\frac{1}{9}\right)^x > 0$ для любого $x$.

Функция $y$ получается вычитанием 4 из значений функции $g(x)$. Вычтем 4 из обеих частей неравенства:

$\left(\frac{1}{9}\right)^x - 4 > 0 - 4$

$y > -4$

Это означает, что значения функции $y$ всегда больше -4. Таким образом, область значений функции — это все числа в интервале $(-4, +\infty)$.

Ответ: $(-4, +\infty)$

Рассмотрим функцию $y = 9^{|x|}$.

Выражение в показателе степени — это модуль $x$, то есть $|x|$. Область значений модуля — это все неотрицательные числа. То есть, $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$.

Пусть $t = |x|$, тогда $t \ge 0$. Наша функция принимает вид $y = 9^t$, где $t \in [0, +\infty)$.

Так как основание степени $9 > 1$, функция $y = 9^t$ является возрастающей. Это означает, что свое наименьшее значение она принимает при наименьшем значении аргумента $t$.

Наименьшее значение $t$ равно 0. При $t=0$ получаем:

$y_{min} = 9^0 = 1$

Поскольку $t$ может принимать сколь угодно большие значения (стремится к $+\infty$), значения $y = 9^t$ также будут стремиться к $+\infty$.

Таким образом, функция принимает все значения от 1 (включительно) до бесконечности.

Ответ: $[1, +\infty)$