Номер 13, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Решите уравнение:

1) $3 \cdot 16^x + 36^x - 2 \cdot 81^x = 0;$

2) $81 \cdot 4^x - 78 \cdot 6^x + 16 \cdot 9^x = 0.$

1) $3 \cdot 16^x + 36^x - 2 \cdot 81^x = 0$

Заметим, что основания степеней можно представить через $4$ и $9$: $16 = 4^2$, $36 = 4 \cdot 9$, $81 = 9^2$. Перепишем уравнение:

$3 \cdot (4^2)^x + (4 \cdot 9)^x - 2 \cdot (9^2)^x = 0$

$3 \cdot (4^x)^2 + 4^x \cdot 9^x - 2 \cdot (9^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $81^x = (9^x)^2 > 0$ для любого $x$, разделим обе части уравнения на $81^x$:

$\frac{3 \cdot (4^x)^2}{(9^x)^2} + \frac{4^x \cdot 9^x}{(9^x)^2} - \frac{2 \cdot (9^x)^2}{(9^x)^2} = 0$

$3 \cdot \left(\frac{4^x}{9^x}\right)^2 + \frac{4^x}{9^x} - 2 = 0$

$3 \cdot \left(\left(\frac{4}{9}\right)^x\right)^2 + \left(\frac{4}{9}\right)^x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{4}{9}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$. Уравнение принимает вид:

$3t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25$

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним. Рассматриваем только $t_1 = \frac{2}{3}$.

Вернемся к исходной переменной:

$\left(\frac{4}{9}\right)^x = \frac{2}{3}$

Представим левую часть как степень с основанием $\frac{2}{3}$:

$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$\left(\frac{2}{3}\right)^{2x} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

Приравниваем показатели степеней:

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) $81 \cdot 4^x - 78 \cdot 6^x + 16 \cdot 9^x = 0$

Заметим, что основания степеней можно представить через $2$ и $3$: $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $9 = 3^2$. Перепишем уравнение:

$81 \cdot (2^2)^x - 78 \cdot (2 \cdot 3)^x + 16 \cdot (3^2)^x = 0$

$81 \cdot (2^x)^2 - 78 \cdot 2^x \cdot 3^x + 16 \cdot (3^x)^2 = 0$

Это однородное показательное уравнение. Так как $9^x = (3^x)^2 > 0$ для любого $x$, разделим обе части уравнения на $9^x$:

$\frac{81 \cdot (2^x)^2}{(3^x)^2} - \frac{78 \cdot 2^x \cdot 3^x}{(3^x)^2} + \frac{16 \cdot (3^x)^2}{(3^x)^2} = 0$

$81 \cdot \left(\frac{2^x}{3^x}\right)^2 - 78 \cdot \frac{2^x}{3^x} + 16 = 0$

$81 \cdot \left(\left(\frac{2}{3}\right)^x\right)^2 - 78 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^x + 16 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \left(\frac{2}{3}\right)^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $y > 0$. Уравнение принимает вид:

$81y^2 - 78y + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-78)^2 - 4 \cdot 81 \cdot 16 = 6084 - 5184 = 900$

Корни уравнения:

$y_1 = \frac{78 + \sqrt{900}}{2 \cdot 81} = \frac{78 + 30}{162} = \frac{108}{162} = \frac{2}{3}$

$y_2 = \frac{78 - \sqrt{900}}{2 \cdot 81} = \frac{78 - 30}{162} = \frac{48}{162} = \frac{8}{27}$

Оба корня удовлетворяют условию $y > 0$.

Вернемся к исходной переменной. Рассмотрим два случая:

1. $y_1 = \frac{2}{3}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2}{3}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$x_1 = 1$

2. $y_2 = \frac{8}{27}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{8}{27}$

$\left(\frac{2}{3}\right)^x = \frac{2^3}{3^3} = \left(\frac{2}{3}\right)^3$

$x_2 = 3$

Ответ: $1; 3$