Номер 20, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

20. Решите неравенство:

1) $16^x - 20 \cdot 4^x + 64 \ge 0;$

2) $3^{2x+1} - 28 \cdot 3^x + 9 < 0;$

3) $25^{x+0,5} + 4 \cdot 5^x - 1 \ge 0;$

4) $3^x + 3^{1-x} \ge 4;$

5) $4 \cdot 0,5^{2x} - 17 \cdot 0,5^x + 4 \le 0;$

6) $9^{x+0,5} - 8 \cdot 3^x - 3 < 0.$

1) Решим неравенство $16^x - 20 \cdot 4^x + 64 \ge 0$.
Представим $16^x$ как $(4^x)^2$. Неравенство примет вид: $(4^x)^2 - 20 \cdot 4^x + 64 \ge 0$.
Это квадратное неравенство относительно $4^x$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 4^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем неравенство: $t^2 - 20t + 64 \ge 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 - 20t + 64 = 0$.
Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим $t_1 = 4$ и $t_2 = 16$.
Так как ветви параболы $y = t^2 - 20t + 64$ направлены вверх, неравенство выполняется при $t \le 4$ или $t \ge 16$.
С учетом условия $t > 0$, получаем два случая:
1. $0 < t \le 4$
2. $t \ge 16$
Выполним обратную замену $t = 4^x$:
1. $4^x \le 4 \implies 4^x \le 4^1$. Так как основание степени $4 > 1$, то $x \le 1$.
2. $4^x \ge 16 \implies 4^x \ge 4^2$. Так как основание степени $4 > 1$, то $x \ge 2$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [2, \infty)$.

2) Решим неравенство $3^{2x+1} - 28 \cdot 3^x + 9 < 0$.
Используя свойство степеней, преобразуем $3^{2x+1} = 3^{2x} \cdot 3^1 = 3 \cdot (3^x)^2$.
Неравенство примет вид: $3 \cdot (3^x)^2 - 28 \cdot 3^x + 9 < 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство: $3t^2 - 28t + 9 < 0$.
Найдем корни уравнения $3t^2 - 28t + 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-28)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 9 = 784 - 108 = 676 = 26^2$.
Корни $t_{1,2} = \frac{28 \pm 26}{6}$, откуда $t_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{54}{6} = 9$.
Ветви параболы $y = 3t^2 - 28t + 9$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{3} < t < 9$.
Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену $t = 3^x$:
$\frac{1}{3} < 3^x < 9 \implies 3^{-1} < 3^x < 3^2$.
Так как основание степени $3 > 1$, то для показателей степени неравенство сохраняется: $-1 < x < 2$.
Ответ: $x \in (-1, 2)$.

3) Решим неравенство $25^{x+0,5} + 4 \cdot 5^x - 1 \ge 0$.
Преобразуем $25^{x+0,5} = 25^x \cdot 25^{0,5} = (5^2)^x \cdot \sqrt{25} = (5^x)^2 \cdot 5$.
Неравенство примет вид: $5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 \ge 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
Получаем неравенство: $5t^2 + 4t - 1 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $5t^2 + 4t - 1 = 0$.
Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
Корни $t_{1,2} = \frac{-4 \pm 6}{10}$, откуда $t_1 = -1$ и $t_2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le -1$ или $t \ge \frac{1}{5}$.
Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем решение $t \le -1$. Остается $t \ge \frac{1}{5}$.
Выполним обратную замену $t = 5^x$:
$5^x \ge \frac{1}{5} \implies 5^x \ge 5^{-1}$.
Так как основание степени $5 > 1$, то $x \ge -1$.
Ответ: $x \in [-1, \infty)$.

4) Решим неравенство $3^x + 3^{1-x} \ge 4$.
Преобразуем $3^{1-x} = \frac{3^1}{3^x} = \frac{3}{3^x}$.
Неравенство примет вид: $3^x + \frac{3}{3^x} \ge 4$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
Получаем неравенство: $t + \frac{3}{t} \ge 4$.
Так как $t > 0$, умножим обе части на $t$, сохранив знак неравенства:
$t^2 + 3 \ge 4t \implies t^2 - 4t + 3 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$. По теореме Виета $t_1 = 1$, $t_2 = 3$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $t \le 1$ или $t \ge 3$. Оба решения удовлетворяют условию $t > 0$.
Выполним обратную замену $t = 3^x$:
1. $3^x \le 1 \implies 3^x \le 3^0$. Так как основание $3 > 1$, то $x \le 0$.
2. $3^x \ge 3 \implies 3^x \ge 3^1$. Так как основание $3 > 1$, то $x \ge 1$.
Объединяя решения, получаем ответ.
Ответ: $x \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.

5) Решим неравенство $4 \cdot 0,5^{2x} - 17 \cdot 0,5^x + 4 \le 0$.
Заметим, что $0,5^{2x} = (0,5^x)^2$. Сделаем замену переменной: пусть $t = 0,5^x$, где $t > 0$.
Получаем неравенство: $4t^2 - 17t + 4 \le 0$.
Найдем корни уравнения $4t^2 - 17t + 4 = 0$.
Дискриминант $D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$.
Корни $t_{1,2} = \frac{17 \pm 15}{8}$, откуда $t_1 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $t_2 = \frac{32}{8} = 4$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $\frac{1}{4} \le t \le 4$.
Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.
Выполним обратную замену $t = 0,5^x$:
$\frac{1}{4} \le 0,5^x \le 4$.
Представим все части неравенства в виде степени с основанием 0,5:
$(0,5)^2 \le 0,5^x \le (0,5)^{-2}$.
Так как основание степени $0,5 < 1$, то при переходе к показателям степени знаки неравенства меняются на противоположные:
$2 \ge x \ge -2$, что эквивалентно $-2 \le x \le 2$.
Ответ: $x \in [-2, 2]$.

6) Решим неравенство $9^{x+0,5} - 8 \cdot 3^x - 3 < 0$.
Преобразуем $9^{x+0,5} = 9^x \cdot 9^{0,5} = (3^2)^x \cdot \sqrt{9} = (3^x)^2 \cdot 3$.
Неравенство примет вид: $3 \cdot (3^x)^2 - 8 \cdot 3^x - 3 < 0$.
Сделаем замену переменной: пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
Получаем неравенство: $3t^2 - 8t - 3 < 0$.
Найдем корни уравнения $3t^2 - 8t - 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.
Корни $t_{1,2} = \frac{8 \pm 10}{6}$, откуда $t_1 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ и $t_2 = \frac{18}{6} = 3$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $-\frac{1}{3} < t < 3$.
Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < 3$.
Выполним обратную замену $t = 3^x$:
$3^x < 3 \implies 3^x < 3^1$.
Так как основание степени $3 > 1$, то $x < 1$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.