Номер 17, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

17. Установите соответствие между неравенствами, записанными в левом столбце, и их множествами решений, записанными в правом столбце.

Неравенства

А) $6x \ge 6$

Б) $(\frac{1}{6})^x \ge 6$

В) $6x \le 6$

Г) $(\frac{1}{6})^x \le 6$

Множества решений

1) $[1; +\infty)$

2) $[-1; +\infty)$

3) $(-\infty; 1]$

4) $(-\infty; -1]$

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

А Б В Г

Для установления соответствия решим каждое неравенство.

А) $6x \ge 6$

Это линейное неравенство. Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на 6. Поскольку 6 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \ge \frac{6}{6}$

$x \ge 1$

Множество решений этого неравенства представляет собой промежуток от 1 (включительно) до $+\infty$. В виде интервала это записывается как $[1; +\infty)$. Это соответствует множеству решений под номером 1.

Ответ: 1

Б) $(\frac{1}{6})^x \ge 6$

Это показательное неравенство. Приведем обе части к одному основанию — 6. Мы знаем, что $\frac{1}{6} = 6^{-1}$, поэтому неравенство можно переписать так:

$(6^{-1})^x \ge 6^1$

$6^{-x} \ge 6^1$

Так как основание степени 6 больше 1, показательная функция $y=6^t$ является возрастающей. Это означает, что для показателей степеней сохраняется тот же знак неравенства:

$-x \ge 1$

Теперь умножим обе части на -1. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x \le -1$

Множество решений — это промежуток $(-\infty; -1]$. Это соответствует множеству решений под номером 4.

Ответ: 4

В) $6x \le 6$

Это линейное неравенство. Разделим обе части на 6:

$x \le \frac{6}{6}$

$x \le 1$

Множество решений — это промежуток $(-\infty; 1]$. Это соответствует множеству решений под номером 3.

Ответ: 3

Г) $(\frac{1}{6})^x \le 6$

Это показательное неравенство. Как и в пункте Б, приведем обе части к основанию 6:

$(6^{-1})^x \le 6^1$

$6^{-x} \le 6^1$

Поскольку основание 6 > 1, знак неравенства для показателей сохраняется:

$-x \le 1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x \ge -1$

Множество решений — это промежуток $[-1; +\infty)$. Это соответствует множеству решений под номером 2.

Ответ: 2

Итоговая таблица соответствий: