Номер 14, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

14. Решите уравнение:

1) $3x = 30 - x$;

2) $2^{x+1} + 3^{x+1} = 2$;

3) $5^{-\sin x} = 0,2 - x^2$.

1) $3^x = 30 - x$

Рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям уравнения: $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 30 - x$.

Функция $f(x) = 3^x$ является показательной с основанием $3 > 1$, следовательно, она строго возрастает на всей своей области определения $(-\infty; +\infty)$.

Функция $g(x) = 30 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $k=-1$, следовательно, она строго убывает на всей своей области определения.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более одного раза. Это означает, что уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень методом подбора, проверяя целые значения $x$.

При $x = 3$ левая часть уравнения равна $3^3 = 27$.

Правая часть уравнения равна $30 - 3 = 27$.

Так как $27 = 27$, то $x = 3$ является корнем уравнения.

Поскольку корень может быть только один, мы нашли единственное решение.

Ответ: $3$.

2) $2^{x+1} + 3^{x+1} = 2$

Рассмотрим функцию в левой части уравнения: $f(x) = 2^{x+1} + 3^{x+1}$.

Эта функция представляет собой сумму двух показательных функций: $y_1 = 2^{x+1}$ и $y_2 = 3^{x+1}$. Обе эти функции являются строго возрастающими, так как их основания ($2$ и $3$) больше 1.

Сумма двух строго возрастающих функций также является строго возрастающей функцией. Следовательно, функция $f(x)$ строго возрастает на всей своей области определения.

Это означает, что любое свое значение она принимает только один раз. Таким образом, уравнение $f(x) = 2$ может иметь не более одного корня.

Найдем корень методом подбора.

Проверим значение $x = -1$:

$2^{-1+1} + 3^{-1+1} = 2^0 + 3^0 = 1 + 1 = 2$.

Левая часть равна правой части ($2=2$), значит, $x = -1$ является корнем уравнения.

Так как это единственный возможный корень, он и является решением.

Ответ: $-1$.

3) $5^{-\sin x} = 0.2 - x^2$

Для решения этого уравнения оценим область значений левой и правой частей.

1. Оценим левую часть: $f(x) = 5^{-\sin x}$.

Известно, что область значений синуса: $-1 \le \sin x \le 1$.

Умножив неравенство на $-1$, получим: $-1 \le -\sin x \le 1$.

Показательная функция $y = 5^t$ с основанием $5 > 1$ является возрастающей, поэтому для $f(x)$ имеем:

$5^{-1} \le 5^{-\sin x} \le 5^1$

$0.2 \le 5^{-\sin x} \le 5$

Таким образом, значение левой части уравнения всегда не меньше $0.2$.

2. Оценим правую часть: $g(x) = 0.2 - x^2$.

Квадрат любого действительного числа неотрицателен: $x^2 \ge 0$.

Тогда $-x^2 \le 0$.

Прибавив $0.2$ к обеим частям, получим:

$0.2 - x^2 \le 0.2$

Таким образом, значение правой части уравнения всегда не больше $0.2$.

Равенство $f(x) = g(x)$ возможно только в том случае, когда обе части одновременно равны $0.2$. Это эквивалентно системе уравнений:

$\begin{cases} 5^{-\sin x} = 0.2 \\ 0.2 - x^2 = 0.2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы:

$0.2 - x^2 = 0.2 \implies -x^2 = 0 \implies x = 0$.

Теперь решим первое уравнение системы:

$5^{-\sin x} = 0.2 \implies 5^{-\sin x} = \frac{1}{5} \implies 5^{-\sin x} = 5^{-1}$.

Отсюда следует, что $-\sin x = -1$, или $\sin x = 1$.

Система уравнений свелась к:

$\begin{cases} x = 0 \\ \sin x = 1 \end{cases}$

Подставим значение $x=0$ из первого уравнения во второе: $\sin(0) = 0$. Получаем $0=1$ — это неверное равенство. Следовательно, система не имеет решений.

Это означает, что исходное уравнение также не имеет корней.

Ответ: корней нет.