Номер 10, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

10. Решите уравнение:

1) $7^x = 343;$

2) $13^{3x-5} = 13^{6x};$

3) $15^{x^2-2x-48} = 1;$

4) $216^x = 36;$

5) $(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{9}{25})^{x-7};$

6) $(2^{x-6})^{x-2} = 32;$

7) $(\frac{21}{22})^x \cdot (\frac{2}{7})^x = \frac{121}{9};$

8) $18^{x^2+6x} = 19^{x^2+6x};$

9) $3^{x-2} \cdot 5^x = \frac{1}{9} \cdot 15^{4-3x};$

10) $\sqrt[3]{16^{x+3}} = \sqrt{128^{1-x}}.$

1) $7^x = 343$

Представим число 343 как степень числа 7.
$7^1 = 7$
$7^2 = 49$
$7^3 = 343$
Получаем уравнение:
$7^x = 7^3$
Так как основания степеней равны, то равны и их показатели.
$x = 3$
Ответ: 3

2) $13^{3x-5} = 13^{6x}$

Основания степеней в обеих частях уравнения равны (13), поэтому мы можем приравнять их показатели.
$3x - 5 = 6x$
$6x - 3x = -5$
$3x = -5$
$x = -\frac{5}{3}$
Ответ: $-\frac{5}{3}$

3) $15^{x^2-2x-48} = 1$

Любое число (кроме 0) в степени 0 равно 1. Так как основание 15 не равно 0, приравняем показатель степени к нулю.
$x^2 - 2x - 48 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -48$
Подбираем корни: $x_1 = 8$ и $x_2 = -6$.
$8 + (-6) = 2$
$8 \cdot (-6) = -48$
Корни найдены верно.
Ответ: -6; 8

4) $216^x = 36$

Представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Заметим, что 216 и 36 являются степенями числа 6.
$36 = 6^2$
$216 = 6^3$
Подставим эти значения в уравнение:
$(6^3)^x = 6^2$
$6^{3x} = 6^2$
Приравниваем показатели степеней:
$3x = 2$
$x = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

5) $(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{9}{25})^{x-7}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что $\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2$. Также, $(\frac{3}{5})$ является обратной дробью к $(\frac{5}{3})$, то есть $(\frac{3}{5}) = (\frac{5}{3})^{-1}$.
$\frac{9}{25} = (\frac{3}{5})^2 = ((\frac{5}{3})^{-1})^2 = (\frac{5}{3})^{-2}$
Подставим это в правую часть уравнения:
$(\frac{5}{3})^{x-4} = ((\frac{5}{3})^{-2})^{x-7}$
$(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{5}{3})^{-2(x-7)}$
$(\frac{5}{3})^{x-4} = (\frac{5}{3})^{-2x+14}$
Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели:
$x - 4 = -2x + 14$
$x + 2x = 14 + 4$
$3x = 18$
$x = 6$
Ответ: 6

6) $(2^{x-6})^{x-2} = 32$

Упростим левую часть уравнения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, и представим правую часть как степень числа 2.
$2^{(x-6)(x-2)} = 2^5$
Приравниваем показатели степеней:
$(x-6)(x-2) = 5$
$x^2 - 2x - 6x + 12 = 5$
$x^2 - 8x + 12 - 5 = 0$
$x^2 - 8x + 7 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = 8$
$x_1 \cdot x_2 = 7$
Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.
Ответ: 1; 7

7) $(\frac{21}{22})^x \cdot (\frac{2}{7})^x = \frac{121}{9}$

Используем свойство степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ для левой части уравнения.
$(\frac{21}{22} \cdot \frac{2}{7})^x = \frac{121}{9}$
Упростим выражение в скобках:
$(\frac{3 \cdot 7}{2 \cdot 11} \cdot \frac{2}{7})^x = \frac{121}{9}$
$(\frac{3}{11})^x = \frac{121}{9}$
Представим правую часть как степень с основанием $\frac{3}{11}$.
$\frac{121}{9} = \frac{11^2}{3^2} = (\frac{11}{3})^2 = (\frac{3}{11})^{-2}$
Получаем уравнение:
$(\frac{3}{11})^x = (\frac{3}{11})^{-2}$
$x = -2$
Ответ: -2

8) $18^{x^2+6x} = 19^{x^2+6x}$

Равенство степеней с разными основаниями ($18 \neq 19$) возможно только в том случае, если их показатель равен нулю, так как любое число (кроме 0) в нулевой степени равно 1.
$x^2 + 6x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x+6) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
$x_1 = 0$ или $x+6=0 \implies x_2 = -6$
Ответ: -6; 0

9) $3^{x-2} \cdot 5^x = \frac{1}{9} \cdot 15^{4-3x}$

Приведем все степени к основаниям 3 и 5.
$\frac{1}{9} = 3^{-2}$
$15 = 3 \cdot 5$
Подставим в уравнение:
$3^{x-2} \cdot 5^x = 3^{-2} \cdot (3 \cdot 5)^{4-3x}$
$3^{x-2} \cdot 5^x = 3^{-2} \cdot 3^{4-3x} \cdot 5^{4-3x}$
$3^{x-2} \cdot 5^x = 3^{-2+4-3x} \cdot 5^{4-3x}$
$3^{x-2} \cdot 5^x = 3^{2-3x} \cdot 5^{4-3x}$
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями (разделим обе части на $3^{2-3x}$ и $5^x$):
$\frac{3^{x-2}}{3^{2-3x}} = \frac{5^{4-3x}}{5^x}$
$3^{(x-2)-(2-3x)} = 5^{(4-3x)-x}$
$3^{x-2-2+3x} = 5^{4-4x}$
$3^{4x-4} = 5^{4-4x}$
Это равенство вида $a^y = b^y$, которое возможно только при $y=0$.
$4x-4 = 0$
$4x = 4$
$x = 1$
Ответ: 1

10) $\sqrt[3]{16^{x+3}} = \sqrt{128^{1-x}}$

Представим основания 16 и 128 как степени числа 2.
$16 = 2^4$
$128 = 2^7$
Подставим в уравнение:
$\sqrt[3]{(2^4)^{x+3}} = \sqrt{(2^7)^{1-x}}$
$\sqrt[3]{2^{4(x+3)}} = \sqrt{2^{7(1-x)}}$
Представим корни в виде дробных степеней:
$(2^{4x+12})^{\frac{1}{3}} = (2^{7-7x})^{\frac{1}{2}}$
$2^{\frac{4x+12}{3}} = 2^{\frac{7-7x}{2}}$
Приравниваем показатели степеней:
$\frac{4x+12}{3} = \frac{7-7x}{2}$
Решим уравнение, используя основное свойство пропорции:
$2(4x+12) = 3(7-7x)$
$8x + 24 = 21 - 21x$
$8x + 21x = 21 - 24$
$29x = -3$
$x = -\frac{3}{29}$
Ответ: $-\frac{3}{29}$