Номер 12, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

12. Решите уравнение:

1) $11^{2x} - 12 \cdot 11^x + 11 = 0$

2) $5 \cdot 25^x + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$

3) $6^{2x+9} - 35 \cdot 6^{x+4} - 1 = 0$

4) $9^{x-1} - 36 \cdot 3^{x-3} + 3 = 0$

5) $\frac{4}{2^{x-2} + 2} - \frac{1}{2^{x-2} - 3} = 2$

6) $10^x - 10^{1-x} = 9$

7) $3 - \cos 2x + 3\sin^2 x - 6 = 0$

8) $\left(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\right)^x + \left(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\right)^x = 14$

1) $11^{2x} - 12 \cdot 11^x + 11 = 0$

Это показательное уравнение, которое сводится к квадратному. Пусть $y = 11^x$. Так как основание степени $11 > 0$, то $y > 0$.
Заменяем $11^x$ на $y$ в исходном уравнении: $11^{2x} = (11^x)^2 = y^2$.
Получаем квадратное уравнение: $y^2 - 12y + 11 = 0$.
Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 12, а произведение равно 11. Легко подобрать корни:
$y_1 = 11$
$y_2 = 1$
Оба корня положительны, поэтому оба подходят под условие $y > 0$.
Теперь вернемся к замене:
1) $11^x = y_1 = 11$. Отсюда $11^x = 11^1$, следовательно, $x = 1$.
2) $11^x = y_2 = 1$. Отсюда $11^x = 11^0$, следовательно, $x = 0$.
Ответ: $x = 0; x = 1$.

2) $5 \cdot 25^x + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$

Представим $25^x$ как $(5^2)^x = (5^x)^2$. Уравнение примет вид:
$5 \cdot (5^x)^2 + 4 \cdot 5^x - 1 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = 5^x$, где $y > 0$.
Получаем квадратное уравнение: $5y^2 + 4y - 1 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
Найдем корни:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + 6}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - 6}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y > 0$, поэтому отбрасываем его.
Возвращаемся к замене с $y_1 = \frac{1}{5}$:
$5^x = \frac{1}{5}$
$5^x = 5^{-1}$
$x = -1$
Ответ: $x = -1$.

3) $6^{2x+9} - 35 \cdot 6^{x+4} - 1 = 0$

Преобразуем степени, чтобы выделить общий множитель. Заметим, что $2x+9 = 2(x+4) + 1$.
$6^{2(x+4)+1} - 35 \cdot 6^{x+4} - 1 = 0$
$6^1 \cdot 6^{2(x+4)} - 35 \cdot 6^{x+4} - 1 = 0$
$6 \cdot (6^{x+4})^2 - 35 \cdot 6^{x+4} - 1 = 0$
Сделаем замену. Пусть $y = 6^{x+4}$, где $y>0$.
Получаем квадратное уравнение: $6y^2 - 35y - 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-35)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1225 + 24 = 1249$.
Корень из 1249 не является целым числом, что нетипично для задач такого типа. Вероятно, в условии допущена опечатка. Если предположить, что свободный член равен -6, а не -1, то задача имеет "красивое" решение.
Предположим, уравнение выглядит так: $6 \cdot (6^{x+4})^2 - 35 \cdot 6^{x+4} - 6 = 0$.
Тогда $D = (-35)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 1225 + 144 = 1369 = 37^2$.
Корни для $y$:
$y_1 = \frac{35 + 37}{12} = \frac{72}{12} = 6$
$y_2 = \frac{35 - 37}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$ (не подходит, так как $y>0$)
Возвращаемся к замене: $6^{x+4} = 6^1$, откуда $x+4=1$, $x=-3$.
(Решая исходное уравнение, получили бы $x = \log_6\left(\frac{35+\sqrt{1249}}{12}\right)-4$)
Ответ: (При условии, что свободный член равен -6) $x = -3$.

4) $9^{x-1} - 36 \cdot 3^{x-3} + 3 = 0$

Приведем все степени к основанию 3.
$9^{x-1} = (3^2)^{x-1} = 3^{2x-2} = 3^{2x} \cdot 3^{-2} = \frac{(3^x)^2}{9}$
$3^{x-3} = 3^x \cdot 3^{-3} = \frac{3^x}{27}$
Подставим в уравнение:
$\frac{(3^x)^2}{9} - 36 \cdot \frac{3^x}{27} + 3 = 0$
$\frac{(3^x)^2}{9} - \frac{4}{3} \cdot 3^x + 3 = 0$
Сделаем замену $y = 3^x$, где $y > 0$.
$\frac{y^2}{9} - \frac{4}{3}y + 3 = 0$
Умножим все уравнение на 9, чтобы избавиться от дробей:
$y^2 - 12y + 27 = 0$
По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 12$, $y_1 \cdot y_2 = 27$. Корни: $y_1 = 3$, $y_2 = 9$.
Оба корня положительны.
Вернемся к замене:
1) $3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.
2) $3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.
Ответ: $x = 1; x = 2$.

5) $\frac{4}{2^{x-2} + 2} - \frac{1}{2^{x-2} - 3} = 2$

Сделаем замену. Пусть $y = 2^{x-2}$, где $y>0$.
Уравнение примет вид: $\frac{4}{y + 2} - \frac{1}{y - 3} = 2$.
Область допустимых значений: $y+2 \ne 0 \implies y \ne -2$ (выполнено, т.к. $y>0$) и $y-3 \ne 0 \implies y \ne 3$.
Приведем к общему знаменателю $(y+2)(y-3)$:
$\frac{4(y-3) - 1(y+2)}{(y+2)(y-3)} = 2$
$4y - 12 - y - 2 = 2(y+2)(y-3)$
$3y - 14 = 2(y^2 - y - 6)$
$3y - 14 = 2y^2 - 2y - 12$
$2y^2 - 5y + 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$y_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
$y_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
Оба корня удовлетворяют условиям $y>0$ и $y \ne 3$.
Возвращаемся к замене:
1) $2^{x-2} = 2 \implies 2^{x-2} = 2^1 \implies x-2 = 1 \implies x = 3$.
2) $2^{x-2} = \frac{1}{2} \implies 2^{x-2} = 2^{-1} \implies x-2 = -1 \implies x = 1$.
Ответ: $x = 1; x = 3$.

6) $10^x - 10^{1-x} = 9$

Преобразуем второе слагаемое: $10^{1-x} = \frac{10^1}{10^x} = \frac{10}{10^x}$.
Уравнение примет вид: $10^x - \frac{10}{10^x} = 9$.
Сделаем замену $y = 10^x$, где $y>0$.
$y - \frac{10}{y} = 9$
Умножим обе части на $y$ (так как $y \ne 0$):
$y^2 - 10 = 9y$
$y^2 - 9y - 10 = 0$
По теореме Виета: $y_1 + y_2 = 9$, $y_1 \cdot y_2 = -10$. Корни: $y_1 = 10$, $y_2 = -1$.
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y>0$.
Возвращаемся к замене: $10^x = 10 \implies 10^x = 10^1 \implies x=1$.
Ответ: $x = 1$.

7) $3 - \cos 2x + 3\sin^2 x - 6 = 0$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
$3 - (1 - 2\sin^2 x) + 3\sin^2 x - 6 = 0$
$3 - 1 + 2\sin^2 x + 3\sin^2 x - 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$5\sin^2 x - 4 = 0$
$5\sin^2 x = 4$
$\sin^2 x = \frac{4}{5}$
Это уравнение можно решить через понижение степени. Формула понижения степени: $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$.
$\frac{1-\cos 2x}{2} = \frac{4}{5}$
$1 - \cos 2x = \frac{8}{5}$
$\cos 2x = 1 - \frac{8}{5} = -\frac{3}{5}$
Отсюда, $2x = \pm \arccos(-\frac{3}{5}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pm \frac{1}{2}\arccos(-\frac{3}{5}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2}\arccos(-\frac{3}{5}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

8) $\left(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}}\right)^x + \left(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}\right)^x = 14$

Упростим выражения под корнями, выделив полный квадрат. Используем формулу $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.
Для $7 + 4\sqrt{3}$: $a^2+b^2 = 7$ и $2ab = 4\sqrt{3} \implies ab = 2\sqrt{3}$.
Подбором находим $a=2, b=\sqrt{3}$. Проверяем: $a^2+b^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4+3=7$. Верно.
Значит, $7 + 4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$.
Аналогично, $7 - 4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2$.
Подставим это в уравнение:
$\left(\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}\right)^x + \left(\sqrt{(2-\sqrt{3})^2}\right)^x = 14$
$(2+\sqrt{3})^x + (2-\sqrt{3})^x = 14$
Заметим, что основания степеней являются сопряженными и их произведение равно 1:
$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
Отсюда $2-\sqrt{3} = \frac{1}{2+\sqrt{3}} = (2+\sqrt{3})^{-1}$.
Сделаем замену $y = (2+\sqrt{3})^x$. Тогда $(2-\sqrt{3})^x = ((2+\sqrt{3})^{-1})^x = (2+\sqrt{3})^{-x} = y^{-1} = \frac{1}{y}$.
Уравнение примет вид: $y + \frac{1}{y} = 14$.
Умножим на $y$ (так как $y=(2+\sqrt{3})^x > 0$):
$y^2 + 1 = 14y$
$y^2 - 14y + 1 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 196 - 4 = 192$.
$\sqrt{192} = \sqrt{64 \cdot 3} = 8\sqrt{3}$.
$y = \frac{14 \pm 8\sqrt{3}}{2} = 7 \pm 4\sqrt{3}$.
Возвращаемся к замене:
1) $(2+\sqrt{3})^x = 7 + 4\sqrt{3}$. Так как $7 + 4\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^2$, то $(2+\sqrt{3})^x = (2+\sqrt{3})^2$, откуда $x=2$.
2) $(2+\sqrt{3})^x = 7 - 4\sqrt{3}$. Так как $7 - 4\sqrt{3} = (2-\sqrt{3})^2 = ((2+\sqrt{3})^{-1})^2 = (2+\sqrt{3})^{-2}$, то $(2+\sqrt{3})^x = (2+\sqrt{3})^{-2}$, откуда $x=-2$.
Ответ: $x = \pm 2$.