Номер 18, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

18. Решите неравенство:

1) $3^x > \frac{1}{81}$;

2) $0,5^x \le 0,0625$;

3) $(\frac{4}{11})^{x^2} \ge (\frac{11}{4})^{4x-32}$;

4) $0,7^{\frac{x^2+6x-7}{x}} \ge 1$;

5) $125 \cdot 0,2^{x^2+4x} < 0,04^x$;

6) $0,6^{\frac{x^2-12}{x}} \le \frac{625}{81}$;

7) $2 \cdot 8^{\frac{1}{x}} \le (\frac{1}{2})^{1-x}$;

8) $(\frac{\pi}{6})^{\frac{4}{x+2}-1} \le (\frac{\pi}{6})^{\frac{4}{x+4}}$.

1) Решим неравенство $3^x > \frac{1}{81}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 3.
Так как $81 = 3^4$, то $\frac{1}{81} = 3^{-4}$.
Неравенство принимает вид: $3^x > 3^{-4}$.
Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, знак неравенства для показателей степеней сохраняется:
$x > -4$.
Ответ: $x \in (-4; +\infty)$.

2) Решим неравенство $0,5^x \le 0,0625$.
Представим обе части неравенства в виде степеней с одинаковым основанием.
$0,5 = \frac{1}{2}$.
$0,0625 = \frac{625}{10000} = \frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^4$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{1}{2})^x \le (\frac{1}{2})^4$.
Поскольку основание степени $0 < \frac{1}{2} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства меняется на противоположный:
$x \ge 4$.
Ответ: $x \in [4; +\infty)$.

3) Решим неравенство $(\frac{4}{11})^{x^2} > (\frac{11}{4})^{4x-32}$.
Приведем степени к одному основанию. Заметим, что $\frac{11}{4} = (\frac{4}{11})^{-1}$.
$(\frac{4}{11})^{x^2} > ((\frac{4}{11})^{-1})^{4x-32}$
$(\frac{4}{11})^{x^2} > (\frac{4}{11})^{-(4x-32)}$
$(\frac{4}{11})^{x^2} > (\frac{4}{11})^{32-4x}$.
Поскольку основание $0 < \frac{4}{11} < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 < 32-4x$
$x^2 + 4x - 32 < 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 32 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -8$ и $x_2 = 4$.
Неравенство можно записать в виде $(x+8)(x-4) < 0$.
Решением этого неравенства является интервал между корнями.
$-8 < x < 4$.
Ответ: $x \in (-8; 4)$.

4) Решим неравенство $0,7^{\frac{x^2+6x-7}{x}} \ge 1$.
Представим 1 как степень с основанием 0,7: $1 = 0,7^0$.
$0,7^{\frac{x^2+6x-7}{x}} \ge 0,7^0$.
Поскольку основание $0 < 0,7 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется:
$\frac{x^2+6x-7}{x} \le 0$.
Область допустимых значений: $x \ne 0$.
Разложим числитель на множители: $x^2+6x-7 = (x+7)(x-1)$.
$\frac{(x+7)(x-1)}{x} \le 0$.
Решим методом интервалов. Нули числителя: $x=-7$, $x=1$. Нуль знаменателя: $x=0$.
Отметим точки на числовой прямой и определим знаки выражения на интервалах:
- при $x>1$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$
- при $0<x<1$: $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$
- при $-7<x<0$: $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$
- при $x<-7$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$
Выбираем интервалы со знаком "минус". Точки $x=-7$ и $x=1$ включаем, так как неравенство нестрогое, а точку $x=0$ исключаем.
$x \in (-\infty; -7] \cup (0; 1]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -7] \cup (0; 1]$.

5) Решим неравенство $125 \cdot 0,2^{x^2+4x} < 0,04^x$.
Приведем все члены к основанию 5.
$125 = 5^3$.
$0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
$0,04 = \frac{1}{25} = 5^{-2}$.
Подставим в неравенство:
$5^3 \cdot (5^{-1})^{x^2+4x} < (5^{-2})^x$
$5^3 \cdot 5^{-x^2-4x} < 5^{-2x}$
$5^{3-x^2-4x} < 5^{-2x}$.
Основание $5 > 1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:
$3 - x^2 - 4x < -2x$
$0 < x^2 + 2x - 3$
$x^2 + 2x - 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$. Корни $x_1 = -3$, $x_2 = 1$.
$(x+3)(x-1) > 0$.
Решением является объединение интервалов за пределами корней.
$x < -3$ или $x > 1$.
Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

6) Решим неравенство $0,6^{\frac{x^2-12}{x}} \le \frac{625}{81}$.
Приведем к общему основанию. $0,6 = \frac{3}{5}$.
$\frac{625}{81} = \frac{5^4}{3^4} = (\frac{5}{3})^4 = ((\frac{3}{5})^{-1})^4 = (\frac{3}{5})^{-4}$.
Неравенство принимает вид: $(\frac{3}{5})^{\frac{x^2-12}{x}} \le (\frac{3}{5})^{-4}$.
Основание $0 < \frac{3}{5} < 1$, функция убывающая, знак неравенства меняем:
$\frac{x^2-12}{x} \ge -4$.
ОДЗ: $x \ne 0$.
$\frac{x^2-12}{x} + 4 \ge 0$
$\frac{x^2-12+4x}{x} \ge 0$
$\frac{x^2+4x-12}{x} \ge 0$.
Разложим числитель на множители: $x^2+4x-12 = (x+6)(x-2)$.
$\frac{(x+6)(x-2)}{x} \ge 0$.
Решаем методом интервалов. Нули: $x=-6, x=2, x=0$.
- при $x > 2$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$
- при $0 < x < 2$: $\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$
- при $-6 < x < 0$: $\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$
- при $x < -6$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$
Выбираем интервалы со знаком "плюс", включая нули числителя.
$x \in [-6; 0) \cup [2; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-6; 0) \cup [2; +\infty)$.

7) Решим неравенство $2 \cdot 8^{\frac{1}{x}} \le (\frac{1}{2})^{1-x}$.
Приведем все члены к основанию 2.
$2 = 2^1$, $8 = 2^3$, $\frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$2^1 \cdot (2^3)^{\frac{1}{x}} \le (2^{-1})^{1-x}$
$2^1 \cdot 2^{\frac{3}{x}} \le 2^{-(1-x)}$
$2^{1+\frac{3}{x}} \le 2^{x-1}$.
Основание $2>1$, функция возрастающая, знак неравенства сохраняется.
ОДЗ: $x \ne 0$.
$1+\frac{3}{x} \le x-1$
$2 - x + \frac{3}{x} \le 0$
$\frac{2x - x^2 + 3}{x} \le 0$
$\frac{-x^2+2x+3}{x} \le 0$.
Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$\frac{x^2-2x-3}{x} \ge 0$.
Разложим числитель: $x^2-2x-3 = (x-3)(x+1)$.
$\frac{(x-3)(x+1)}{x} \ge 0$.
Решаем методом интервалов. Нули: $x=3, x=-1, x=0$.
- при $x > 3$: $\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$
- при $0 < x < 3$: $\frac{(-)(+)}{(+)} < 0$
- при $-1 < x < 0$: $\frac{(-)(-)}{(-)} > 0$
- при $x < -1$: $\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$
Выбираем интервалы со знаком "плюс", включая нули числителя.
$x \in [-1; 0) \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-1; 0) \cup [3; +\infty)$.

8) Решим неравенство $(\frac{\pi}{6})^{\frac{4}{x+2}-1} \le (\frac{\pi}{6})^{\frac{4}{x+4}}$.
Оценим основание степени: $\pi \approx 3,14$, значит $\frac{\pi}{6} \approx \frac{3,14}{6} \approx 0,52$.
Так как $0 < \frac{\pi}{6} < 1$, показательная функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный.
$\frac{4}{x+2}-1 \ge \frac{4}{x+4}$.
ОДЗ: $x \ne -2$, $x \ne -4$.
$\frac{4}{x+2} - 1 - \frac{4}{x+4} \ge 0$.
Приведем к общему знаменателю $(x+2)(x+4)$:
$\frac{4(x+4) - (x+2)(x+4) - 4(x+2)}{(x+2)(x+4)} \ge 0$
$\frac{4x+16 - (x^2+6x+8) - 4x-8}{(x+2)(x+4)} \ge 0$
$\frac{8 - x^2-6x-8}{(x+2)(x+4)} \ge 0$
$\frac{-x^2-6x}{(x+2)(x+4)} \ge 0$
$\frac{-x(x+6)}{(x+2)(x+4)} \ge 0$.
Умножим на -1 и сменим знак неравенства:
$\frac{x(x+6)}{(x+2)(x+4)} \le 0$.
Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x=0, x=-6$. Нули знаменателя: $x=-2, x=-4$.
Отмечаем точки на числовой прямой в порядке возрастания: -6, -4, -2, 0.
- при $x > 0$: $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$
- при $-2 < x < 0$: $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} < 0$
- при $-4 < x < -2$: $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} > 0$
- при $-6 < x < -4$: $\frac{(-)(+)}{(-)(-)} < 0$
- при $x < -6$: $\frac{(-)(-)}{(-)(-)} > 0$
Выбираем интервалы со знаком "минус". Точки $x=-6$ и $x=0$ включаем (неравенство нестрогое), точки $x=-4$ и $x=-2$ исключаем (нули знаменателя).
$x \in [-6; -4) \cup (-2; 0]$.
Ответ: $x \in [-6; -4) \cup (-2; 0]$.