Номер 23, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

23. Найдите:

1) $log_3 81$

2) $log_{16} \frac{1}{16}$;

3) $log_{23} 1$;

4) $log_{19} 19$;

5) $log_2 0.25$;

6) $log_{27} 3$;

7) $\lg 0.0001$;

8) $log_8 16$;

9) $log_{0.2} 125$.

1) Логарифм $\log_3 81$ — это степень, в которую нужно возвести основание 3, чтобы получить число 81. Обозначим эту степень за $x$: $\log_3 81 = x$, что эквивалентно $3^x = 81$.
Поскольку $3^1 = 3$, $3^2 = 9$, $3^3 = 27$, $3^4 = 81$, то искомая степень равна 4.
Таким образом, $\log_3 81 = 4$.
Ответ: 4

2) Найдем $\log_{16} \frac{1}{16}$. Это степень, в которую нужно возвести 16, чтобы получить $\frac{1}{16}$.
По свойству степеней с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, имеем $16^{-1} = \frac{1}{16}$.
Следовательно, $\log_{16} \frac{1}{16} = -1$.
Ответ: -1

3) Найдем $\log_{23} 1$. Это степень, в которую нужно возвести 23, чтобы получить 1.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$.
Значит, $23^0 = 1$, и $\log_{23} 1 = 0$.
Ответ: 0

4) Найдем $\log_{19} 19$. Это степень, в которую нужно возвести 19, чтобы получить 19.
Любое число в первой степени равно самому себе: $a^1 = a$.
Значит, $19^1 = 19$, и $\log_{19} 19 = 1$.
Ответ: 1

5) Найдем $\log_2 0,25$. Сначала представим десятичную дробь 0,25 в виде обыкновенной дроби, а затем в виде степени с основанием 2.
$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.
Тогда $\log_2 0,25 = \log_2 (2^{-2})$. По свойству логарифма $\log_a(a^p) = p$, получаем, что $\log_2(2^{-2}) = -2$.
Ответ: -2

6) Найдем $\log_{27} 3$. Обозначим этот логарифм за $x$: $\log_{27} 3 = x$.
По определению логарифма, это эквивалентно уравнению $27^x = 3$.
Мы знаем, что $27 = 3^3$. Подставим это в уравнение: $(3^3)^x = 3$.
По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем $3^{3x} = 3^1$.
Приравнивая показатели степеней, имеем $3x = 1$, откуда $x = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$

7) Запись $\lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10. Итак, нам нужно найти $\lg 0,0001 = \log_{10} 0,0001$.
Представим 0,0001 в виде степени числа 10: $0,0001 = \frac{1}{10000} = \frac{1}{10^4} = 10^{-4}$.
Следовательно, $\log_{10} 0,0001 = \log_{10} (10^{-4}) = -4$.
Ответ: -4

8) Найдем $\log_8 16$. Обозначим этот логарифм за $x$: $\log_8 16 = x$, что равносильно $8^x = 16$.
Чтобы решить это уравнение, представим основание 8 и число 16 как степени одного и того же числа. Оба числа являются степенями двойки: $8=2^3$ и $16=2^4$.
Подставим в уравнение: $(2^3)^x = 2^4$.
Упростим левую часть: $2^{3x} = 2^4$.
Теперь приравняем показатели степеней: $3x = 4$, откуда $x = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$

9) Найдем $\log_{0,2} 125$. Пусть $\log_{0,2} 125 = x$. Это означает, что $(0,2)^x = 125$.
Преобразуем основание логарифма: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Число 125 также является степенью пятерки: $125 = 5^3$.
Подставим эти значения в уравнение: $(5^{-1})^x = 5^3$.
Упростим левую часть: $5^{-x} = 5^3$.
Приравнивая показатели, получаем $-x = 3$, следовательно, $x = -3$.
Ответ: -3