Номер 21, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

21. Решите неравенство:

1) $21^x - 9 \cdot 7^x - 7 \cdot 3^x + 63 \le 0;$

2) $\frac{0.1^x - 0.01}{6 - x} \ge 0.$

1) $21^x - 9 \cdot 7^x - 7 \cdot 3^x + 63 \le 0$

Преобразуем левую часть неравенства. Представим $21^x$ как $7^x \cdot 3^x$ и сгруппируем слагаемые:

$(7^x \cdot 3^x - 9 \cdot 7^x) - (7 \cdot 3^x - 63) \le 0$

Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:

$7^x(3^x - 9) - 7(3^x - 9) \le 0$

Теперь вынесем за скобки общий множитель $(3^x - 9)$:

$(7^x - 7)(3^x - 9) \le 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни каждого множителя, приравняв их к нулю:

$7^x - 7 = 0 \implies 7^x = 7^1 \implies x = 1$.

$3^x - 9 = 0 \implies 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

Полученные точки $x=1$ и $x=2$ разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 1)$, $(1; 2)$ и $(2; \infty)$. Определим знак выражения $(7^x - 7)(3^x - 9)$ на каждом интервале.

При $x < 1$ (например, $x=0$): $(7^0-7)(3^0-9) = (-6)(-8) = 48 > 0$.

При $1 < x < 2$ (например, $x=1.5$): $7^{1.5}-7 > 0$, а $3^{1.5}-9 = \sqrt{27}-9 < 0$. Произведение будет отрицательным.

При $x > 2$ (например, $x=3$): $(7^3-7)(3^3-9) = (336)(18) > 0$.

Нам нужно найти, где выражение меньше или равно нулю. Это происходит на интервале $(1; 2)$, а также в точках, где выражение равно нулю ($x=1$ и $x=2$).

Таким образом, решением неравенства является отрезок $[1, 2]$.

Ответ: $x \in [1, 2]$.

2) $\frac{0.1^x - 0.01}{6-x} \ge 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Найдем корень числителя:

$0.1^x - 0.01 = 0 \implies 0.1^x = 0.01 \implies 0.1^x = (0.1)^2 \implies x = 2$.

Найдем корень знаменателя:

$6 - x = 0 \implies x = 6$.

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 6$.

Отметим точки $x=2$ (закрашенная, так как неравенство нестрогое) и $x=6$ (выколотая) на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 2]$, $(2; 6)$ и $(6; \infty)$.

Определим знак дроби на каждом интервале, используя пробные точки:

Интервал $(-\infty; 2)$: возьмем $x=0$. $\frac{0.1^0 - 0.01}{6-0} = \frac{1 - 0.01}{6} = \frac{0.99}{6} > 0$. Этот интервал является частью решения.

Интервал $(2; 6)$: возьмем $x=3$. $\frac{0.1^3 - 0.01}{6-3} = \frac{0.001 - 0.01}{3} = \frac{-0.009}{3} < 0$. Этот интервал не является частью решения.

Интервал $(6; \infty)$: возьмем $x=7$. $\frac{0.1^7 - 0.01}{6-7} = \frac{\text{отрицательное число}}{\text{отрицательное число}} > 0$. Этот интервал является частью решения.

Объединяем полученные результаты. Точка $x=2$ включается в решение, так как при этом значении числитель равен нулю. Точка $x=6$ исключается.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup (6, \infty)$.