Номер 15, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

15. При каких значениях $a$ уравнение $49^x - (a + 5) \cdot 7^x + 7a - 14 = 0$ имеет один действительный корень?

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $49^x = (7^2)^x = (7^x)^2$. Перепишем уравнение:

$(7^x)^2 - (a + 5) \cdot 7^x + 7a - 14 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 7^x$. Поскольку показательная функция $y = 7^x$ принимает только положительные значения ($7^x > 0$ для любого действительного $x$), то для новой переменной $t$ должно выполняться условие $t > 0$. Каждому положительному значению $t$ соответствует единственное значение $x = \log_7 t$.

После замены исходное уравнение превращается в квадратное уравнение относительно переменной $t$:

$t^2 - (a + 5)t + 7a - 14 = 0$

Исходное уравнение имеет один действительный корень $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень $t$.

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения. Сначала вычислим дискриминант:

$D = (-(a + 5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7a - 14) = (a + 5)^2 - 28a + 56 = a^2 + 10a + 25 - 28a + 56 = a^2 - 18a + 81 = (a - 9)^2$

Поскольку дискриминант является полным квадратом, корни уравнения легко находятся:

$t = \frac{(a + 5) \pm \sqrt{(a - 9)^2}}{2} = \frac{(a + 5) \pm |a - 9|}{2}$

Таким образом, корнями уравнения являются $t_1 = \frac{a + 5 + |a - 9|}{2}$ и $t_2 = \frac{a + 5 - |a - 9|}{2}$.

Для дальнейшего анализа раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $a - 9 \ge 0$, то есть $a \ge 9$.

В этом случае $|a - 9| = a - 9$. Найдем корни:

$t_1 = \frac{a + 5 + (a - 9)}{2} = \frac{2a - 4}{2} = a - 2$

$t_2 = \frac{a + 5 - (a - 9)}{2} = \frac{a + 5 - a + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

Один из корней, $t_2 = 7$, является положительным. Чтобы уравнение имело единственный положительный корень, возможны два варианта:

1. Корни совпадают: $t_1 = t_2$. Это происходит, когда дискриминант равен нулю, т.е. $a = 9$. При $a = 9$, корень $t = 7 > 0$. Это значение удовлетворяет условию $a \ge 9$. Следовательно, $a=9$ является решением.

2. Один корень положителен, а другой — неположителен ($t \le 0$). Поскольку $t_2 = 7 > 0$, необходимо, чтобы $t_1 \le 0$.

$a - 2 \le 0 \implies a \le 2$.

Однако, этот случай мы рассматриваем при условии $a \ge 9$. Система неравенств $\begin{cases} a \le 2 \\ a \ge 9 \end{cases}$ не имеет решений.

Таким образом, в первом случае мы получили единственное решение $a = 9$.

Случай 2: $a - 9 < 0$, то есть $a < 9$.

В этом случае $|a - 9| = -(a - 9) = 9 - a$. Найдем корни:

$t_1 = \frac{a + 5 + (9 - a)}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$t_2 = \frac{a + 5 - (9 - a)}{2} = \frac{a + 5 - 9 + a}{2} = \frac{2a - 4}{2} = a - 2$

Один из корней, $t_1 = 7$, является положительным. Чтобы исходное уравнение имело единственный корень, второй корень $t_2$ должен быть неположительным ($t_2 \le 0$).

$a - 2 \le 0 \implies a \le 2$.

Это условие необходимо совместить с условием рассматриваемого случая, то есть $a < 9$. Решением системы $\begin{cases} a \le 2 \\ a < 9 \end{cases}$ является $a \le 2$.

При $a = 2$ корни для $t$ равны $7$ и $0$. Корень $t=0$ не дает решения для $x$ (т.к. $7^x \ne 0$), а $t=7$ дает один корень $x=1$.

При $a < 2$ корень $t_2 = a - 2$ становится отрицательным. Отрицательный корень для $t$ не дает решения для $x$, а корень $t=7$ дает один корень $x=1$.

Следовательно, все значения $a \le 2$ являются решениями.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях ($a=9$ из первого случая и $a \le 2$ из второго), получаем, что исходное уравнение имеет один действительный корень при $a \in (-\infty; 2] \cup \{9\}$.

Ответ: $a \in (-\infty; 2] \cup \{9\}$.