Номер 11, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

11. Решите уравнение:

1) $3^{x+3} + 3^x = 84;$

2) $6^x - 5 \cdot 6^{x-2} = 186;$

3) $5 \cdot 2^{x-4} - 3 \cdot 2^{x-1} + 6 \cdot 2^{x+1} = 173;$

4) $625^{x+0,5} - 4 \cdot 5^{4x+1} - 11 \cdot 25^{2x-0,5} = 350;$

5) $7^{x+1} - 7^x - 33 \cdot 7^{x-1} = 3^{x+2} - 3^{x+1} + 31 \cdot 3^{x-1};$

6) $9^x - 2^{x-0,5} = 2^{x+3,5} - 3^{2x-1}.$

1) $3^{x+3} + 3^x = 84$
Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать первое слагаемое:
$3^x \cdot 3^3 + 3^x = 84$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(3^3 + 1) = 84$
Вычислим значение в скобках:
$3^x(27 + 1) = 84$
$28 \cdot 3^x = 84$
Разделим обе части уравнения на 28, чтобы найти $3^x$:
$3^x = \frac{84}{28}$
$3^x = 3$
Поскольку $3 = 3^1$, мы можем приравнять показатели степеней:
$x = 1$
Ответ: $1$.

2) $6^x - 5 \cdot 6^{x-2} = 186$
Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:
$6^x - 5 \cdot \frac{6^x}{6^2} = 186$
Вынесем общий множитель $6^x$ за скобки:
$6^x(1 - \frac{5}{36}) = 186$
Вычислим значение в скобках:
$6^x(\frac{36 - 5}{36}) = 186$
$6^x \cdot \frac{31}{36} = 186$
Выразим $6^x$:
$6^x = 186 \cdot \frac{36}{31}$
Так как $186 / 31 = 6$, получаем:
$6^x = 6 \cdot 36$
$6^x = 6 \cdot 6^2$
$6^x = 6^3$
Приравниваем показатели степеней:
$x = 3$
Ответ: $3$.

3) $5 \cdot 2^{x-4} - 3 \cdot 2^{x-1} + 6 \cdot 2^{x+1} = 173$
Приведем все степени к одному основанию с наименьшим показателем, $2^{x-4}$:
$5 \cdot 2^{x-4} - 3 \cdot 2^{(x-4)+3} + 6 \cdot 2^{(x-4)+5} = 173$
$5 \cdot 2^{x-4} - 3 \cdot 2^{x-4} \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^{x-4} \cdot 2^5 = 173$
Вынесем общий множитель $2^{x-4}$ за скобки:
$2^{x-4}(5 - 3 \cdot 2^3 + 6 \cdot 2^5) = 173$
Вычислим значение в скобках:
$2^{x-4}(5 - 3 \cdot 8 + 6 \cdot 32) = 173$
$2^{x-4}(5 - 24 + 192) = 173$
$2^{x-4} \cdot 173 = 173$
Разделим обе части на 173:
$2^{x-4} = 1$
Представим 1 как степень с основанием 2, т.е. $2^0$:
$2^{x-4} = 2^0$
Приравниваем показатели степеней:
$x - 4 = 0$
$x = 4$
Ответ: $4$.

4) $625^{x+0,5} - 4 \cdot 5^{4x+1} - 11 \cdot 25^{2x-0,5} = 350$
Приведем все основания к степени 5, так как $625=5^4$ и $25=5^2$:
$(5^4)^{x+0,5} - 4 \cdot 5^{4x+1} - 11 \cdot (5^2)^{2x-0,5} = 350$
Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$5^{4(x+0,5)} - 4 \cdot 5^{4x+1} - 11 \cdot 5^{2(2x-0,5)} = 350$
$5^{4x+2} - 4 \cdot 5^{4x+1} - 11 \cdot 5^{4x-1} = 350$
Вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, $5^{4x-1}$:
$5^{4x-1}(5^3 - 4 \cdot 5^2 - 11) = 350$
Вычислим значение в скобках:
$5^{4x-1}(125 - 4 \cdot 25 - 11) = 350$
$5^{4x-1}(125 - 100 - 11) = 350$
$5^{4x-1} \cdot 14 = 350$
Найдем $5^{4x-1}$:
$5^{4x-1} = \frac{350}{14} = 25$
Представим 25 как степень с основанием 5:
$5^{4x-1} = 5^2$
Приравниваем показатели степеней:
$4x - 1 = 2$
$4x = 3$
$x = \frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$.

5) $7^{x+1} - 7^x - 33 \cdot 7^{x-1} = 3^{x+2} - 3^{x+1} + 31 \cdot 3^{x-1}$
Упростим левую и правую части уравнения по отдельности, вынося общие множители.
Левая часть: $7^{x+1} - 7^x - 33 \cdot 7^{x-1}$. Выносим $7^{x-1}$:
$7^{x-1}(7^2 - 7^1 - 33) = 7^{x-1}(49 - 7 - 33) = 7^{x-1} \cdot 9$
Правая часть: $3^{x+2} - 3^{x+1} + 31 \cdot 3^{x-1}$. Выносим $3^{x-1}$:
$3^{x-1}(3^3 - 3^2 + 31) = 3^{x-1}(27 - 9 + 31) = 3^{x-1} \cdot 49$
Теперь приравняем упрощенные части:
$9 \cdot 7^{x-1} = 49 \cdot 3^{x-1}$
Сгруппируем степени с $x$ в одной части, а числа в другой:
$\frac{7^{x-1}}{3^{x-1}} = \frac{49}{9}$
Используем свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$ :
$(\frac{7}{3})^{x-1} = (\frac{7}{3})^2$
Приравниваем показатели степеней:
$x - 1 = 2$
$x = 3$
Ответ: $3$.

6) $9^x - 2^{x-0,5} = 2^{x+3,5} - 3^{2x-1}$
Заметим, что $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$. Перепишем уравнение и сгруппируем члены с одинаковыми основаниями:
$3^{2x} + 3^{2x-1} = 2^{x+3,5} + 2^{x-0,5}$
В левой части вынесем за скобки $3^{2x-1}$, а в правой $2^{x-0,5}$:
$3^{2x-1}(3^1 + 1) = 2^{x-0,5}(2^4 + 1)$
Вычислим значения в скобках:
$3^{2x-1} \cdot 4 = 2^{x-0,5} \cdot 17$
Преобразуем степени:
$4 \cdot \frac{3^{2x}}{3} = 17 \cdot \frac{2^x}{2^{0,5}}$
$\frac{4}{3} \cdot (3^2)^x = \frac{17}{\sqrt{2}} \cdot 2^x$
$\frac{4}{3} \cdot 9^x = \frac{17}{\sqrt{2}} \cdot 2^x$
Разделим переменные, собрав степени с $x$ слева:
$\frac{9^x}{2^x} = \frac{17}{\sqrt{2}} \cdot \frac{3}{4}$
$(\frac{9}{2})^x = \frac{51}{4\sqrt{2}}$
Чтобы найти $x$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию $\frac{9}{2}$:
$x = \log_{\frac{9}{2}}\left(\frac{51}{4\sqrt{2}}\right)$
Ответ: $x = \log_{\frac{9}{2}}\left(\frac{51}{4\sqrt{2}}\right)$.