Номер 16, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

16. При каких значениях $a$ уравнение $100^x - (a - 5) \cdot 10^x - 2a^2 + 14a - 24 = 0$ не имеет действительных корней?

Данное уравнение является показательным. Чтобы его решить, сделаем замену переменной. Пусть $t = 10^x$. Так как показательная функция $y = 10^x$ принимает только положительные значения, то должно выполняться условие $t > 0$.

Заметим, что $100^x = (10^2)^x = (10^x)^2 = t^2$. Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - (a - 5)t - (2a^2 - 14a + 24) = 0$.

Это квадратное уравнение относительно переменной $t$. Исходное уравнение не имеет действительных корней $x$ тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение не имеет положительных корней $t$. Квадратное уравнение не будет иметь положительных корней в двух случаях: либо оно не имеет действительных корней вовсе, либо все его действительные корни неположительны.

Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: Квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Это условие выполняется, если дискриминант $D$ квадратного уравнения отрицателен ($D < 0$).

Найдем дискриминант уравнения $t^2 - (a - 5)t - (2a^2 - 14a + 24) = 0$:

$D = (-(a - 5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2a^2 - 14a + 24))$

$D = (a - 5)^2 + 4(2a^2 - 14a + 24)$

$D = a^2 - 10a + 25 + 8a^2 - 56a + 96$

$D = 9a^2 - 66a + 121$

Заметим, что полученное выражение является полным квадратом:

$D = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot 11 + 11^2 = (3a - 11)^2$.

Условие $D < 0$ принимает вид $(3a - 11)^2 < 0$. Это неравенство не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа является неотрицательным. Следовательно, этот случай невозможен, и уравнение всегда имеет действительные корни.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет действительные корни, и все они неположительные.

Пусть $t_1$ и $t_2$ – корни квадратного уравнения. Условие, что оба корня неположительные ($t_1 \le 0$ и $t_2 \le 0$), для приведенного квадратного уравнения с ветвями параболы вверх ($t^2+...$) равносильно системе из трех условий:

1. Дискриминант $D \ge 0$.

2. Сумма корней $t_1 + t_2 \le 0$.

3. Произведение корней $t_1 \cdot t_2 \ge 0$.

Применим эти условия к нашему уравнению:

1. $D = (3a - 11)^2 \ge 0$. Это условие выполняется для всех действительных $a$.

2. Сумма корней. По теореме Виета, $t_1 + t_2 = -(-(a-5)) = a - 5$. Требуем выполнения условия $t_1 + t_2 \le 0$, откуда получаем $a - 5 \le 0 \implies a \le 5$.

3. Произведение корней. По теореме Виета, $t_1 \cdot t_2 = -(2a^2 - 14a + 24) = -2a^2 + 14a - 24$. Требуем выполнения условия $t_1 \cdot t_2 \ge 0$, откуда получаем $-2a^2 + 14a - 24 \ge 0$.

Решим последнее неравенство. Разделим обе его части на $-2$, изменив знак неравенства на противоположный:

$a^2 - 7a + 12 \le 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 7a + 12 = 0$. По теореме Виета, корни равны $a_1 = 3$ и $a_2 = 4$. Так как парабола $y = a^2 - 7a + 12$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство $a^2 - 7a + 12 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями: $3 \le a \le 4$.

Для нахождения итогового решения необходимо, чтобы все условия выполнялись одновременно. Составим систему из полученных неравенств:

$\begin{cases} a \le 5 \\ 3 \le a \le 4 \end{cases}$

Решением этой системы является пересечение промежутков, что дает $3 \le a \le 4$.

Таким образом, при $a \in [3, 4]$ исходное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: $a \in [3; 4]$.