Номер 19, страница 70 - гдз по алгебре 11 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

19. Решите неравенство:

1) $4^{x+1} - 4^{x-1} + 4^{x-2} \le 244;$

2) $0,2^{x-3} - 0,2^{x-1} \ge 600.$

1) $4^{x+1} - 4^{x-1} + 4^{x-2} \le 244$

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Для этого вынесем за скобки общий множитель $4^{x-2}$ (степень с наименьшим показателем):

$4^{(x-2)+3} - 4^{(x-2)+1} + 4^{x-2} \le 244$

$4^{x-2} \cdot 4^3 - 4^{x-2} \cdot 4^1 + 4^{x-2} \cdot 1 \le 244$

Вынесем $4^{x-2}$ за скобки:

$4^{x-2}(4^3 - 4^1 + 1) \le 244$

Вычислим значение выражения в скобках:

$64 - 4 + 1 = 61$

Неравенство принимает вид:

$4^{x-2} \cdot 61 \le 244$

Разделим обе части неравенства на 61:

$4^{x-2} \le \frac{244}{61}$

$4^{x-2} \le 4$

Представим 4 как $4^1$:

$4^{x-2} \le 4^1$

Поскольку основание степени $4 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это значит, что большему значению функции соответствует больший показатель, и знак неравенства для показателей сохраняется:

$x-2 \le 1$

$x \le 3$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; 3]$.

Ответ: $(-\infty; 3]$.

2) $0,2^{x-3} - 0,2^{x-1} \ge 600$

Преобразуем левую часть неравенства, вынеся за скобки общий множитель. Удобнее всего вынести степень с меньшим показателем, то есть $0,2^{x-3}$:

$0,2^{x-3} - 0,2^{(x-3)+2} \ge 600$

$0,2^{x-3} - 0,2^{x-3} \cdot 0,2^2 \ge 600$

Вынесем $0,2^{x-3}$ за скобки:

$0,2^{x-3}(1 - 0,2^2) \ge 600$

Вычислим значение выражения в скобках:

$1 - 0,2^2 = 1 - 0,04 = 0,96$

Неравенство принимает вид:

$0,2^{x-3} \cdot 0,96 \ge 600$

Разделим обе части на 0,96:

$0,2^{x-3} \ge \frac{600}{0,96}$

$\frac{600}{0,96} = \frac{600}{96/100} = \frac{600 \cdot 100}{96} = \frac{60000}{96} = 625$

Получаем:

$0,2^{x-3} \ge 625$

Представим обе части неравенства в виде степеней с одним основанием. Заметим, что $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ и $625 = 5^4$.

$(5^{-1})^{x-3} \ge 5^4$

$5^{-(x-3)} \ge 5^4$

$5^{-x+3} \ge 5^4$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, знак неравенства для показателей сохраняется:

$-x+3 \ge 4$

$-x \ge 4 - 3$

$-x \ge 1$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$x \le -1$

Решением неравенства является числовой промежуток $(-\infty; -1]$.

Ответ: $(-\infty; -1]$.